重庆市永川中学高二数学第5周第4次小题单(综合法和分析法)理1.“四边形ABCD是矩形,四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)2),q=2(42)2aa(a>2),则()A.p>qB.p0,则++的值()A.一定是正数B.一定是负数C.可能是零D.正、负不能确定5.如果x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是()A.B.2-2C.1+D.2-6.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加了一条直线后,它们的交点个数最多为()A.f(k)+kB.f(k)+1C.f(k)+k+1D.k·f(k)7.三个实数a,b,c不全为0的充要条件是()A.a,b,c都不是0B.a,b,c中至多有一个是0C.a,b,c中只有一个是0D.a,b,c中至少有一个不是08.某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法,……则他从平地上到第n(n≥3)级台阶时的走法f(n)等于()A.f(n-1)+1B.f(n-2)+2C.f(n-2)+1D.f(n-1)+f(n-2)9.由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________.10.已知f(x)=-x3-x+1,(x∈R)求证:满足f(x)=0的实数值至多只有1个.11.已知函数f(x)=ax--2lnx,f(1)=0.(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围?(2)若函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为0,且an+1=f′-nan+1,若a1≥3,求证:an≥n+2.答案1.B2.D[由题设f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,因此,对于A不一定有k=1,2时成立.对于B、C显然错误.对于D,∵f(4)=25>42,因此对于任意的k≥4,有f(k)≥k2成立.]13.A[p=a+=a-2++2≥4,q=2(42)2aa=2(a2)22<4(a>2),∴p>q.]4.B[ab+bc+ac=-(a2+b2+c2)<0.又abc>0,∴++=<0.]5.B[由x>0,y>0,x+y+xy=2,则2-(x+y)=xy≤2,∴(x+y)2+4(x+y)-8≥0,∴x+y≥2-2或x+y≤-2-2.∵x>0,y>0,∴x+y的最小值为2-2.]6.A[增加一条直线后,最多和原来的k条直线都相交,有k个交点,所以交点个数最多为f(k)+k.]7.D8.D[到第n级台阶可分两类:从第n-2级一步到第n级有f(n-2)种走法,从第n-1级到第n级有f(n-1)种走法,共有f(n-1)+f(n-2)种走法.]9.正棱锥各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等10.证明∵f′(x)=-3x2-1<0在x∈R上恒成立.∴f(x)是R上的减函数.假设f(x)=0的实数根x至少有二个,不妨设x1≠x2且f(x1)=f(x2)=0.∵y=f(x)在R单调递减,∴当x1f(x2);当x1>x2时,f(x1)0,∵f(1)=a-b,∴a=b,f′(x)=a+-=a2+a-≠0.①当a>0时,则有f′(x)=a2+a-≥0恒成立,即a-≥0,即a≥1.②当a<0时,由x>0,知f′(x)<0恒成立.③当a=0时,f′(x)=-,x>0,f′(x)<0恒成立.∴若f(x)在定义域内为单调函数,则a的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞).(2)∵函数f(x)的图像在x=1处的切线斜率为0,∴f′(1)=0,即a+a-2=0,解得a=1.∴f′(x)=2,∴an+1=a-nan+1.用数学归纳法证明:①当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立;②假设当n=k时,不等式成立,即ak≥k+2,则ak-k≥2>0,∴ak+1=ak(ak-k)+1≥2(k+2)+1=(k+3)+k+2>k+3,也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2.根据①②对于所有n≥1有an≥n+2.2