重庆市永川中学高二数学第5周第4次小题单（综合法和分析法）理1．“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)2)，q＝2(42)2aa(a>2)，则()A．p>qB．p0，则＋＋的值()A．一定是正数B．一定是负数C．可能是零D．正、负不能确定5．如果x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是()A.B．2－2C．1＋D．2－6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为()A．f(k)＋kB．f(k)＋1C．f(k)＋k＋1D．k·f(k)7．三个实数a，b，c不全为0的充要条件是()A．a，b，c都不是0B．a，b，c中至多有一个是0C．a，b，c中只有一个是0D．a，b，c中至少有一个不是08．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法，……则他从平地上到第n(n≥3)级台阶时的走法f(n)等于()A．f(n－1)＋1B．f(n－2)＋2C．f(n－2)＋1D．f(n－1)＋f(n－2)9．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．10．已知f(x)＝－x3－x＋1，(x∈R)求证：满足f(x)＝0的实数值至多只有1个．11．已知函数f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围？(2)若函数f(x)的图像在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′－nan＋1，若a1≥3，求证：an≥n＋2.答案1．B2．D[由题设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A不一定有k＝1,2时成立．对于B、C显然错误．对于D，∵f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，有f(k)≥k2成立．]13．A[p＝a＋＝a－2＋＋2≥4，q＝2(42)2aa＝2(a2)22<4(a>2)，∴p>q.]4．B[ab＋bc＋ac＝－(a2＋b2＋c2)<0.又abc>0，∴＋＋＝<0.]5．B[由x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则2－(x＋y)＝xy≤2，∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，∴x＋y≥2－2或x＋y≤－2－2.∵x>0，y>0，∴x＋y的最小值为2－2.]6．A[增加一条直线后，最多和原来的k条直线都相交，有k个交点，所以交点个数最多为f(k)＋k.]7．D8．D[到第n级台阶可分两类：从第n－2级一步到第n级有f(n－2)种走法，从第n－1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2)种走法．]9．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等10．证明∵f′(x)＝－3x2－1<0在x∈R上恒成立．∴f(x)是R上的减函数．假设f(x)＝0的实数根x至少有二个，不妨设x1≠x2且f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R单调递减，∴当x1f(x2)；当x1>x2时，f(x1)0，∵f(1)＝a－b，∴a＝b，f′(x)＝a＋－＝a2＋a－≠0.①当a>0时，则有f′(x)＝a2＋a－≥0恒成立，即a－≥0，即a≥1.②当a<0时，由x>0，知f′(x)<0恒成立．③当a＝0时，f′(x)＝－，x>0，f′(x)<0恒成立．∴若f(x)在定义域内为单调函数，则a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．(2)∵函数f(x)的图像在x＝1处的切线斜率为0，∴f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1.∴f′(x)＝2，∴an＋1＝a－nan＋1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，则ak－k≥2>0，∴ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥2(k＋2)＋1＝(k＋3)＋k＋2>k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.根据①②对于所有n≥1有an≥n＋2.2
