高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与简单表示法学业分层测评 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面有四个结论，其中叙述正确的有()①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式．A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．【答案】B2．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于()A．70B．28C．20D．8【解析】由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.【答案】C3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．an＝(－1)n·(2n－1)B．an＝(－1)n·(2n－1)C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)【解析】数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．【答案】A4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【解析】an＝＝1－，∴当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．【答案】A5．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的()A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项【解析】∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．【答案】C二、填空题6．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________.【解析】由an＝19－2n>0，得n<.∵n∈N*，∴n≤9.1【答案】97．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.【解析】∴a2－a＝2，∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.【答案】28．如图211①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图211②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.图211【解析】因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.【答案】三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，，，，…；(2)1,3,6,10,15，…；(3)7,77,777，….【解】(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.(2)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1)．10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2016；(3)2016是否为数列{an}中的项？【解】(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有解得k＝4，b＝－2，∴an＝4n－2.(2)a2016＝4×2016－2＝8062.(3)由4n－2＝2016得n＝504.5∉N*，故2016不是数列{an}中的项．2[能力提升]1．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为()A.B．5C．6D.【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.【答案】B2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，3)C．(－∞，2)D．(－∞，3]【解析】an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．【答案】B3．根据图212中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．图212【解析】观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．【答案】n2－n＋14．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项.【解】(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．令an＝1，得＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，则有an＝an＋1，即＝.解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．3