第四节导数的综合问题课时作业练1.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3-392x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为.答案40解析易知y'=x2-39x-40(x>0).令y'=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,当040时,y'>0,函数单调递增,所以当x=40时,y有最小值.2.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是.答案(-∞,-20]解析由题意知m≤(x3-3x2-9x+2)min,x∈[-2,2],令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f'(x)=3x2-6x-9,令f'(x)=0,得x=-1或x=3(舍去).因为f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.所以f(x)的最小值为f(2)=-20,故m≤-20.3.函数f(x)=lnx+12x2-2x的零点个数是.答案1解析f'(x)=1x+x-2=x2-2x+1x=(x-1)2x≥0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-32<0,f(4)=ln4>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点.4.若存在x∈(0,+∞),使得不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是.答案[4,+∞)解析由题意可得a≥2lnx+x+3x,x∈(0,+∞)有解,则a≥(2lnx+x+3x)min,x∈(0,+∞),令f(x)=2lnx+x+3x,x∈(0,+∞),则f'(x)=2x+1-3x2=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2,x∈(0,+∞),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增,则f(x)min=f(1)=4,故a≥4.5.(2018江苏扬州中学高三第一学期期中)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是.1答案(-∞,2ln2-2]解析令ex-2x+a=0,则a=2x-ex,令g(x)=2x-ex,则由题意可知a的范围即为函数g(x)的值域.g'(x)=2-ex,由g'(x)=0,得x=ln2,且x∈(-∞,ln2)时,g'(x)>0,g(x)递增,x∈(ln2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)递减,所以g(x)max=g(ln2)=2ln2-2,则实数a的取值范围是(-∞,2ln2-2].6.(2018南京第三次模拟)已知a,b∈R,e为自然对数的底数.若存在b∈[-3e,-e2],使得函数f(x)=ex-ax-b在[1,3]上存在零点,则a的取值范围是.答案[e2,4e]解析原命题等价于存在b∈[-3e,-e2],使得函数y=ex,x∈[1,3]的图象与y=ax+b,x∈[1,3]的图象有交点,画出图象如下,则求斜率a的取值范围即可.结合图象可得l1的斜率最大,为4e.过点A作曲线y=ex,x∈[1,3]的切线l2,则其斜率最小,设切点坐标为(x0,ex0),则切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),代入点(0,-e2),得e2=ex0(x0-1),函数y=ex0(x0-1)在[1,3]上单调递增,所以存在唯一的x0=2使等式成立,此时a=e2,故a的取值范围是[e2,4e].7.(2018苏锡常镇四市高三调研)已知函数f(x)={12(|x+3|+1),x≤0,lnx,x>0,若存在实数a0,所以存在c0∈(√e,e2),使得g'(c0)=0,且c∈(√e,c0)时,g'(c)<0,g(c)递减,c∈(c0,e2)时,g'(c)>0,g(c)递增,且g(√e)=12×(√e-6)<0,g(e2)=2×(e2-6)>0,由分析知g(c)的最大值即为af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值,所以af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是2e2-12.28.(2019江苏三校模拟)某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采购成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式;(2)若t=5,问当每千克蘑菇的出厂价为多少时,该工厂的日利润y最大?并求出最大日利润.解析(1)设q=kex(k≠0),则ke30=100,所以k=100e30,所以q=100e30ex,所以y=100e30(x-20-t)ex(25≤x≤40).(2)当t=5时,y=100e30(x-25)ex,则y'=100e30(26-x)ex.由y'≥0得x≤26,由y'≤0得x≥26,所以y=100e30(x-25)ex在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减.所以当x=26时,ymax=100e4,即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日利润最大,最大日利润为100e4元.9.(2019江苏三校模拟)已知函数f(x)=xlnx+ax,a∈R,函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)求证:ex>f'(x).解析(1)f'(x)=lnx+1+a...
