第五章数列第3课时等比数列1.在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝32，则a4＝________．答案：8解析：a6＝a2·q4，∴q2＝4，∴a4＝a2q2＝8.2.已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an＝________．答案：8解析：(a＋2)2＝(a－2)(a＋8)，∴a＝10，q＝＝，an＝8n－1.3.设在等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝________．答案：解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴(S6－S3)2＝(S9－S6)·S3，∴S9－S6＝，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝.4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7a1，则等比数列{an}的公比为________．答案：2解析：a1＋a2＋a3＝7a1，∴a1＋a1q＋a1q2＝7a1.又q＞0，∴q＝2.5.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．答案：解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，∴q＝.6.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则＝________．答案：33解析：∵S3＝2，S6＝18，∴q≠1.∴＝1＋q3＝9，∴q＝2，∴＝1＋q5＝33.7.三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是________．答案：－2或－解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d(d≠0)，由于d≠0，所以a－d，a，a＋d或a＋d，a，a－d不可能成等比数列；若a－d，a＋d，a或a，a＋d，a－d成等比数列，则(a＋d)2＝a(a－d)，即d＝－3a，此时q＝＝－或q＝＝－2；若a，a－d，a＋d或a＋d，a－d，a成等比数列，则(a－d)2＝a(a＋d)，即d＝3a，此时q＝＝－2或q＝＝－.故q＝－2或－.8.已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，则a＝________．答案：解析：设等比数列{an}的公比为q，则b1＝a＋1，b2＝aq＋2，b3＝aq2＋3，(aq＋2)2＝(a＋1)·(aq2＋3)，即aq2－4aq＋3a－1＝0.因为数列{an}是唯一的，因此由方程aq2－4aq＋3a－1＝0解得的a，q的值是唯一的．若Δ＝0，则a2＋a＝0，又a>0.因此这样的a不存在，故方程aq2－4aq＋3a－1＝0必有两个不同的实根，且其中一根为零，于是有3a－1＝0，a＝，此时q＝4，数列{an}是唯一的，因此a＝.9.已知{an}是首项为a1、公比q为正数(q≠1)的等比数列，其前n项和为Sn，且5S2＝4S4.(1)求q的值；(2)设bn＝q＋Sn，请判断数列{bn}能否为等比数列？若能，请求出a1的值，若不能，请说明理由．解：(1)由题意知5S2＝4S4，∴＝.∵a1≠0，q>0且q≠1，∴4q4－5q2＋1＝0，解得q＝.(2)∵Sn＝＝2a1－a1，∴bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1.要使{bn}为等比数列，当且仅当＋2a1＝0，即a1＝－时，bn＝为等比数列，∴{bn}能为等比数列，此时a1＝－.10.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝8，a1＋a2＋a3＝38.(1)求数列{an}的通项an；(2)设Sn为数列{an}前n项的和，求满足Sn>64成立的最小的正整数n.解：(1)设数列的公比为q,由a1＋a2＋a3＝38得8(1＋q＋q2)＝38，得q1＝，q2＝－(舍去)，所以数列的通项为an＝8·n－1(n∈N*)．(2)因为Sn＝＝16·[－1],解不等式16·>64,得n>3,所以满足条件的最小正整数n＝4.11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解：∵S3＝9＋3，∴a2＝3＋，∴d＝2，∴an＝1＋＋(n－1)·2＝2n＋－1，∴Sn＝＝n2＋n.(2)证明：∵bn＝＝n＋，假设数列{bn}存在不同的三项bp，bq，bm成等比数列，∴b＝bp·bm，∴(q＋)2＝(p＋)·(m＋)，∴q2＋2q＝pm＋·(p＋m)，∴∴(p－m)2＝0，得p＝m，与p≠m矛盾，∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
