第九章平面解析几何第47课椭圆的方程及几何性质课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·徐州模拟)若方程＋＝1表示一个椭圆，则实数m的取值范围为______________．(2,4)∪(4,6)[由题意可知解得2b>0)，由e＝，即＝，得a＝2c，则b2＝a2－c2＝3c2.所以椭圆方程可化为＋＝1.将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.]3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________.【导学号：62172262】4[由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得BA＋BF＝CA＋CF＝2a，所以△ABC的周长为BA＋BC＋CA＝BA＋BF＋CF＋CA＝(BA＋BF)＋(CF＋CA)＝2a＋2a＝4a＝4.]4．(2017·泰州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．[如图，设AF＝x，则cos∠ABF＝＝.解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF1＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，∴F1F＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.]5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．椭圆[点P在线段AN的垂直平分线上，故PA＝PN，又AM是圆的半径，所以PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．]6．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则PF1＝________.[因线段PF1的中点M在y轴上，故可知P，即P，所以PF1＝10－＝.]7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________.【导学号：62172263】(－5,0)[因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3,0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为________．2[圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，1则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，所以m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又因为直线l与圆M相切，所以c＝1，所以a2－3＝1，所以a＝2.]9．若m≠0，则椭圆＋＝1的离心率的取值范围是________．[因为椭圆方程中m>0，m2＋1≥2m>m(m>0)，所以a2＝m2＋1，b2＝m，c2＝a2－b2＝m2－m＋1，e2＝＝＝1－＝1－≥1－＝，所以≤e<1.]10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为________．6[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又 ＋＝1，∴y2＝3－x2，∴OP·FP＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. －2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6.]二、解答题11．(2017·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0,2)，其焦点为F1(－，0)，F2(，0)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积.【导学号：62172264】[解](1)由题意可知，c＝，b＝2，所以a2＝b2＋c2＝9，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)法一：由(1)可知，F1F2＝2，PF1＋PF2＝6，又PF1＝4，所以PF2＝2，所以PF＋PF＝F1F，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为×PF1·PF2＝4.法二：由(1)可知e＝，设P(x0，y0)，因为PF1＝4，所以3＋x0＝4，解得x0＝，代入方程得＋＝1，解得|y0|＝，所以△PF1F2的面积为×2×＝4.12．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当PM最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．[解](1)由题意知解得所以椭圆方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，所以PM2＝(x0－m)2＋y＝x...
