第7课函数的奇偶性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P43练习6改编)函数f(x)=42-1(-1)xxx是函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)【答案】奇【解析】由题知定义域{x|x∈R，且x≠0，x≠±1}关于原点对称，且f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.2.(必修1P94习题28改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-2)=.【答案】-1【解析】f(-2)=-f(2)=-1.3.(必修1P55习题8改编)若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a=.【答案】4【解析】因为函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，由f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a，得x2-(a-4)x-4a=x2+(a-4)x-4a，即a-4=0，a=4.4.(必修1P43习题4改编)已知函数f(x)=4x2+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-6，2a]，则点(a，b)的坐标为.【答案】(2，0)【解析】因为f(x)为偶函数且定义域为[a-6，2a]，所以0-(-6)2baa，，即02ba，，故点(a，b)的坐标为(2，0).5.(必修1P111复习题17改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，f(1)=2，则不等式f(lgx)>2的解集为.【答案】1010，∪(10，+∞)1【解析】因为f(x)为偶函数，所以由f(lgx)>2f(|lgx|)>2=f(1)，又因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以|lgx|>1，所以010，故不等式f(lgx)>2的解集为1010，∪(10，+∞).1.奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则称f(x)为偶函数.2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0.(4)定义在(-∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.【要点导学】要点导学各个击破函数奇偶性的判定例1判断下列各函数的奇偶性.2(1)f(x)=32--1xxx；(2)f(x)=2-1x+21-x；(3)f(x)=|x+2|-|x-2|；(4)f(x)=220-0.xxxxxx，，，【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断.【解答】(1)定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.(2)定义域是{-1，1}，f(x)=0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)定义域是R，f(-x)=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(4)当x<0时，-x>0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).综上所述，对任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称.(2)确定f(-x)与f(x)的关系.(3)作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.变式求证：函数f(x)=x112-12x+a(其中a为常数)为偶函数.【解答】易知此函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.因为f(-x)=-x-112-12x+a=x212-12xx+a=x2-111-2-12xx+a=x112-12x+a=f(x)，所以f(x)=x112-12x+a为偶函数.3【精要点评】函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性，从而有了解决问题的方向，只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫，特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)=.(2)(2014·湖南卷改编)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)=，g(1)=.【思维引导】(1)要求f(x)在(0，+∞)上的表达式，由于已知f(x)在(-∞，0)上的表达式，因此解答本题可先设x∈(0，+∞)，然后将它...
