-1-5.1二项式定理知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二题型一二项式定理的应用【例1】(1)求ቀξ𝑥+1ξ𝑥ቁ6的展开式;(2)化简:C𝑛0(x+1)n-C𝑛1(x+1)n-1+C𝑛2(x+1)n-2-…+(-1)kC𝑛𝑘(x+1)n-k+…+(-1)nC𝑛𝑛.分析对于(1)直接利用二项式定理展开;对于(2)可根据式子的特点,逆用二项式定理求解.解(1)ቀξ𝑥+1ξ𝑥ቁ6=C60(ξ𝑥)6+C61(ξ𝑥)51ξ𝑥+C62(ξ𝑥)4·ቀ1ξ𝑥ቁ2+C63(ξ𝑥)3·ቀ1ξ𝑥ቁ3+C64(ξ𝑥)2·ቀ1ξ𝑥ቁ4+C65ξ𝑥·ቀ1ξ𝑥ቁ5+C66ቀ1ξ𝑥ቁ6=x3+6x2+15x+20+151𝑥+6𝑥2+1𝑥3.(2)原式=C𝑛0(x+1)n+C𝑛1(x+1)n-1(-1)+C𝑛2(x+1)n-2(-1)2+…+C𝑛𝑘(x+1)n-k(-1)k+…+C𝑛𝑛(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二反思1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数都等于n;(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理,可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的特点靠拢.知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二【变式训练1】(1)求ቀξ𝑥-12ξ𝑥ቁ4的展开式.(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解(1)方法一:ቀξ𝑥-12ξ𝑥ቁ4=C40(ξ𝑥)4-C41(ξ𝑥)3·12ξ𝑥+C42(ξ𝑥)2·ቀ12ξ𝑥ቁ2−C43ξ𝑥·ቀ12ξ𝑥ቁ3+C44ቀ12ξ𝑥ቁ4=x2-2x+32−12𝑥+116𝑥2.方法二:ቀξ𝑥-12ξ𝑥ቁ4=൬2𝑥-12ξ𝑥൰4=116𝑥2(2x-1)4=116𝑥2(16x4-32x3+24x2-8x+1)=x2-2x+32−12𝑥+116𝑥2.(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55−C55=[(x-1)+1]5-1=x5-1.知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二题型二求展开式中的特定项及系数【例2】已知ቀξ𝑥3-12ξ𝑥3ቁ𝑛的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数及二项式系数;(3)求展开式中所有的有理项.分析利用二项展开式的通项公式求解.解(1)由题意得,Tr+1=C𝑛𝑟(ξx3)n-r·ቀ-12ξ𝑥3ቁ𝑟=(-1)rቀ12ቁ𝑟C𝑛𝑟𝑥𝑛-2𝑟3(r=0,1,2,…,n),∴T6=T5+1=(-1)5·ቀ12ቁ5C𝑛5·𝑥𝑛-103.又第6项为常数项,∴𝑛-103=0,∴n=10.知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二(2)由(1)知Tr+1=(-1)rቀ12ቁ𝑟·C10𝑟·𝑥10-2𝑟3,令10-2𝑟3=2,得r=2.∴x2的系数为(-1)2·ቀ12ቁ2·C102=454.含x2这一项的二项式系数为C102=45.(3)由题意得,10-2𝑟3为整数,其中0≤r≤10,r∈Z. Tr+1为有理项,∴10-2𝑟3为有理数,∴10-2r=0或10-2r=6或10-2r=-6,得r=5或r=2或r=8.∴有理项为T3=C102ቀ12ቁ2x2=454x2,T6=C105ቀ-12ቁ5=-638,T9=C108ቀ-12ቁ8·x-2=45256x-2.知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二反思利用二项展开式的通项解决问题时要注意以下几点:(1)(a+b)n展开式的通项是Tr+1=C𝑛𝑟an-rbr,如T6=T5+1=C𝑛5an-5b5,代入公式时,千万不要代错;(2)常数项中不含字母;(3)注意系数与二项式系数的区别,系数是指未知数前面的数,包括正负号,而二项式系数是特指C𝑛𝑟.知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二【变式训练2】(1)若ቀ𝑥+𝑎ξx3ቁ8的展开式中x4的系数为7,则实数a=.(2)已知二项式ቀx2+12ξxቁ10.①求展开式中的第5项;②求展开式中的常数项.(1)解析二项式ቀ𝑥+𝑎ξ𝑥3ቁ8展开式的通项为Tr+1=C8𝑟ar𝑥8-43𝑟,令8-43r=4,可得r=3,故C83a3=7,易得a=12.答案12知识梳理典例透析随堂演练目标导航题型一题型二(2)解①ቀ𝑥2+12ξ𝑥ቁ10的展开式的第5项为T5=C104·(x2)6·ቀ12ξ𝑥ቁ4=C104·ቀ12ቁ4·x12·ቀ1ξ𝑥ቁ4=1058x10.②设第k+1项为常数项,则Tk+1=C10𝑘·(x2)10-k·ቀ12ξ𝑥ቁ𝑘=C10𝑘·𝑥20-52𝑘·ቀ12ቁ𝑘(k=0,1,2,…,10).令20-52k=0,得k=8,所以T9=C108·ቀ12ቁ8=45256,即第9项为常数项,其值为45256.目标导航知识梳理典例透析随堂演练1.(a+b)n=C𝑛0𝑎𝑛+C𝑛1𝑎𝑛−1𝑏+⋯+C𝑛𝑟𝑎𝑛−𝑟𝑏𝑟+⋯+C𝑛𝑛𝑏𝑛.这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式,(a+b)n的二项展开式有n+1项,其中各项的系数C𝑛𝑟称为二项式系数,C𝑛𝑟𝑎𝑛−𝑟𝑏𝑟称为二项展开式的第𝑟+1项,又称为二项式通项.说明:(1)二项展开式的特征:①二项展开式...
