板块命题点专练(五)三角函数的诱导公式及图象与性质1．(2015·福建高考改编)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于________．解析：因为α为第四象限的角，故cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.答案：－2．(2015·四川高考)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．解析：由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.答案：－13．(2013·广东高考改编)已知sin＝，那么cosα＝________.解析：sin＝sin＝sin＝cosα＝.答案：1．(2015·湖南高考)已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.解析：由得sinωx＝cosωx，∴tanωx＝1，ωx＝kπ＋(k∈Z)．∵ω＞0，∴x＝＋(k∈Z)．设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.又结合图形知|y2－y1|＝＝2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，∴2＋(2)2＝12，∴ω＝.答案：2．(2015·陕西高考改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.答案：83．(2015·浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，最小值是________．解析：f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋11＝＋sin2x＋1＝＋sin.故最小正周期T＝＝π.当sin＝－1时，f(x)取得最小值为－＝.答案：π4．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝.答案：5．(2015·安徽高考)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sinx在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.6．(2015·北京高考)已知函数f(x)＝sinx－2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinx＋cosx－＝2sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.7．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x∈时，求g(x)的值域．解：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－.2(2)由条件可知g(x)＝sin－.当x∈时，有x－∈，从而y＝sin的值域为，那么g(x)＝sin－的值域为.故g(x)在区间上的值域是.3
