课时作业(二十二)用向量方法求空间中的角A组基础巩固1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)．cos〈BC1，AB1〉＝＝＝.答案：A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A．－B.C．－D.解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．∴BD＝(－2，－2,0)，BB1＝(0,0,2)，BE＝(－2,0,1)．设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)． n⊥BD，n⊥BB1，∴∴令y＝1，则n＝(－1,1,0)．∴cos〈n，BE〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BE〉|＝.答案：B3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为()A．0B.C．－D.解析：建立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，∴BD1＝(－2，－2,3)，AC＝(－2,2,0)．∴cos〈BD1，AC〉＝＝0.∴〈BD1，AC〉＝90°，其余弦值为0.答案：A4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°1解析：建系如图，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，则得令x＝1，则z＝1.∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.∴此角的大小为45°.答案：B5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：建立如图的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．∴B1C＝(0,1，)，C1D＝(－，0，)．∴cos〈B1C，C1D〉＝＝＝.答案：A6．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A－CD－B的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.且〈EA，FB〉为二面角的平面角，由AB2＝(AE＋EF＋FB)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈AE，FB〉，∴cos〈EA，FB〉＝－.∴〈EA，FB〉＝120°.即所求的二面角为120°.答案：C7．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为__________．解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，sinθ＝|cosβ|＝＝.答案：8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉＝________.2解析：建立如图坐标系，设正方体棱长为2.可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)．cos〈CM，D1N〉＝－.∴sin〈CM，D1N〉＝.答案：9．如图正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．解析：建立坐标系如图，则B(1,1,0)，O，DA1＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．又OB＝，∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝.答案：10．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.(1)求向量OD的坐标；(2)设向量AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值．解：(1)过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝，∴DE＝CD·sin30°＝.OE＝OB－BE＝OB－BD·cos60°＝1－＝.∴D点的坐标为，即向量OD＝.(2)依题意，OA＝，OB＝(0，－1,0)，OC＝(0,1,0)，所以AD＝OD－OA＝，BC＝(0,2,0)．则cosθ＝＝－.B组能力提升311．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为()A.B.C.D.解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C...
