第三节离散型随机变量的均值与方差课时作业练1.(2018常州教育学会学业水平检测)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).(1)求P(ξ=0)的值;(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).解析根据题意知该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形.所以ξ的可能取值为0,π3,π2.共C82=28种取法,其中ξ=0时,有2种;ξ=π3时,有3×4+2×4=20种;ξ=π2时,有2+4=6种.(1)P(ξ=0)=228=114.(2)P(ξ=π3)=2028=57,P(ξ=π2)=628=314.再根据(1)的结论,随机变量ξ的分布列如下表:ξ0π3π2P114573141所以E(ξ)=0×114+π3×57+π2×314=2984π.2.(2018扬州高三第三次调研)将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中.(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率;(2)随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数,求X的分布列和数学期望E(X).1234解析(1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中,共有44=256种不同放法.记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A,事件A共包含A44=24个基本事件,所以P(A)=24256=332,所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(2)记“每本书放入2号抽屉中”为事件B,则P(B)=14,P(B)=1-14=34.根据题意X~B(4,14),所以P(X=k)=C4k(14)k(34)4-k,k=0,1,2,3,4.所以X的分布列为X01234P812562764271283641256所以X的数学期望E(X)=4×14=1.23.(2018江苏盐城中学高三检测)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流不放回地摸取1个球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,直到袋中的球取完为止,若摸出白球,则记2分,若摸出黑球,则记1分,每个球每一次被取出的机会是均等的,用ξ表示甲、乙最终得分差的绝对值.(1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量ξ的分布列及期望Eξ.解析(1)设袋中原有n个白球,由题意知17=Cn2C72=n(n-1)7×6,解得n=3(负值舍去),即袋中原有3个白球.(2)由(1)可知,袋中有3个白球,4个黑球.甲四次取球可能的情况:4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白,相应的分数之和为4分、5分、6分、7分;与之对应的乙取球的情况:3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑.相应的分数之和为6分、5分、4分、3分.故ξ的可能取值为0,2,4.P(ξ=0)=C43C31C74=1235;P(ξ=2)=C44+C42C32C74=1935;P(ξ=4)=C41C33C74=435.所以ξ的分布列为ξ024P12351935435所以Eξ=0×1235+2×1935+4×435=5435.34.(2018江苏泰州中学高三月考)一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的A,B,C,D,E五种商品有购买意向,已知该网民购买A,B两种商品的概率均为34,购买C,D两种商品的概率均为23,购买E种商品的概率为12,假设该网民是否购买这五种商品相互独立.(1)求该网民至少购买4种商品的概率;(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数,求η的概率分布和数学期望.解析(1)记“该网民购买i种商品”为事件Ai,i=4,5,则P(A5)=34×34×23×23×12=18,P(A4)=34×34×23×23×(1-12)+C21·34×(1-34)×23×23×12+C21·23×(1-23)×34×34×12=13.P(A5)+P(A4)=18+13=1124.所以该网民至少购买4种商品的概率为1124.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3,4,5.P(η=0)=(1-34)×(1-34)×(1-23)×(1-23)×(1-12)=1288,P(η=1)=C21×34×(1-34)×(1-23)×(1-23)×(1-12)+C2123×(1-23)×(1-34)×(1-34)×(1-12)+12×(1-34)×(1-34)×(1-23)×(1-23)=11288,4P(η=2)=34×34×(1-23)×(1-23)×(1-12)+23×23×(1-34)×(1-34)×(1-12)+C21·34×(1-34)×C21·23×(1-23)×(1-12)+C21·34×(1-34)×(1-23)2×12+C21·23×(1-13)×(1-34)2×12==47288,P(η=4)=P(A4)=13,P(η=5)=P(A5)=18,P(η=3)=1-P(η=0,1,2,4,5)=1-1288-11288-47288-13-18=97288.所以随机变量η的概率分布为η012345P12881128847288972881318故Eη=0×1288+1×11288+2×47288+3×97288+4×13+5×18=103.5.(2019南京、盐城高三模拟)...
