高二数学正弦定理、余弦定理知识精讲苏教版一.本周教学内容：正弦定理、余弦定理（续）二、本周教学目标：1.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式；2.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；3.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；4.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：俯角、仰角、方位角等。三、本周知识要点：正弦定理：余弦定理：，【典型例题】1.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求值，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决。例1.求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值。解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150° 20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角。设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入（※）式得：sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝例2.在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。（）分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系。其中利用正弦二倍角展开后出现了，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的。解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈Ｎ*，又设最小角为，则用心爱心专心，①又由余弦定理可得x2＝（x＋1）2＋（x＋2）2－2（x＋1）（x＋2）cos②将①代入②整理得：x2－3x－4＝0解之得x1＝4，x2＝－1（舍）所以此三角形三边长为4，5，6评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程。例3.已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长。分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用。解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c）④将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0再将③代入得a＋c＝13由∴b1＝7，b2＝7所以，此三角形三边长分别为5cm，7cm，8cm评述：（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用。（2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力。2.正、余弦定理的应用解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力。下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用。例4.用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度。解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝－β，根据正弦定理，得AE＝用心爱心专心在Rt△AEG中，EG＝AEsin＝∴EF＝EG＋b＝＋b答：气球的高度是＋b评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目中准确地提炼出来。例5.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。...
