课时作业14双曲线及其标准方程(1)知识点一双曲线的定义1.已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是()A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线答案D解析依题意得|F1F2|=10,当a=3时,2a=6<|F1F2|,故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.选D.2.已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=17,则|PF2|=________.答案33解析由双曲线方程-=1可得a=8,b=6,c=10,由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离d≥c-a=2.因为||PF1|-|PF2||=16,|PF1|=17,所以|PF2|=1(舍去)或|PF2|=33.知识点二双曲线的标准方程3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.-=1答案A解析由双曲线定义知,2a=-=5-3=2,∴a=1,又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1,故选A.4.若椭圆+=1和双曲线-=1有相同的焦点,则实数n的值是()A.±5B.±3C.5D.9答案B解析由题意得34-n2=n2+16,2n2=18,解得n=±3.5.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三个内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.1解以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC的外接圆半径). 2sinA+sinC=2sinB,∴2|BC|+|AB|=2|AC|,从而有|AC|-|BC|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). a=,c=2,∴b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为-=1(x>).一、选择题1.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.B.C.D.(,0)答案C解析将方程化为标准方程为x2-=1,∴c2=1+=,∴c=,故选C.2.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(3,0),则k=()A.1B.-1C.D.-答案A解析依题意,知双曲线的焦点在x轴上,方程可化为-=1,则k>0,且a2=,b2=,所以+=9,解得k=1.3.已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为()A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m答案C解析由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.4.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为()A.B.2C.2D.4答案C解析设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因为PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x=-1,x+2=+1,所以|PF2|+|PF1|=-1++1=2.5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两焦点的距离差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()2A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案A解析在椭圆C1中,由得椭圆C1的焦点F1(-5,0),F2(5,0),曲线C2是以F1,F2为焦点,实轴长为8的双曲线,故C2的标准方程为-=1.二、填空题6.焦点在y轴上,过点(1,1),且=的双曲线的标准方程是________.答案-x2=1解析由于=,∴b2=2a2.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1,代入(1,1)点,得a2=.此时双曲线方程为-x2=1.7.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则|PF1|=____________________________.答案8解析依题意有解得|PF2|=6,|PF1|=8.8.在△ABC中,B(-6,0),C(6,0),直线AB,AC的斜率乘积为,则顶点A的轨迹方程为__________.答案-=1(x≠±6)解析设顶点A的坐标为(x,y),根据题意,得·=,化简,得-=1(x≠±6).故填-=1(x≠±6).三、解答题9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=5,c=7;(2)以椭圆+=1的长轴端点为焦点,且经过点P.解(1)因为b2=c2-a2=49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.(2)因为椭圆+=1的长轴端点为A1(-5...