【高考新坐标】2016届高考数学总复习专题突破练三数列问题的求解策略[A级基础达标练]一、选择题1.(2015·威海质检)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=3,an+1-an==3,n∈N*,若数列{cn}满足cn=ban,则c2015=()A.92014B.272016C.92015D.272015[解析]由已知条件知{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,∴an=3n,bn=3n,又cn=ban=33n,因此c2015=33×2015=272015.[答案]D2.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.600[解析]由a1+a2+a3=3a2=3得a2=1,由a18+a19+a20=3a19=87,得a19=29,所以S20==10(a2+a19)=300.[答案]B3.已知an=,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状,a1a2a3a4a5a6a7a8a9…………………………图31记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()A.B.C.D.[解析]前9行共有1+3+5+…+17==81项,所以A(10,12)为数列中的第81+12=93项,所以a93=.[答案]A4.(2015·济宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1[解析]设等比数列{an}的公比为q,由得q=.代入①式,解得a1=2,∴an=2×=22-n,∴Sn=2×=4,因此=4·2n-2=2n-1.[答案]D5.已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足2an-a1=S1·Sn(a1≠0,n∈N*),则a7等于()A.16B.32C.64D.128[解析]令n=1,则a1=1,当n=2时,2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2,当n≥2时,由2an-1=Sn,①得2an-1-1=Sn-1,②①②两式相减,解得2an-2an-1=an,即an=2an-1,于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,因此an=2n-1.故a7=26=64.[答案]C二、填空题6.设{lgan}成等差数列,公差d=lg3,且{lgan}的前三项和为6lg3,则{an}的通项公式为________.[解析]由题意知lga1+lga2+lga3=3lga2=6lg3,∴lga2=2lg3,又公差d=lg3,∴lga1=lg3,∴lgan=lg3+(n-1)lg3=nlg3=lg3n,∴an=3n.[答案]an=3n7.(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________.[解析]当n=1时,S1=a1+,∴a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1),∴an=-2an-1,即=-2,∴{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2,∴an=1×(-2)n-1,即an=(-2)n-1.[答案](-2)n-18.数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=________.[解析]当n=1时,a1=S1=-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.∴an=令2n-5≤0,得n≤,∴当n≤2时,an<0,当n≥3时,an>0.∴|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=66.[答案]66三、解答题9.(2015·济南调研)设数列{an}的前n项和为Sn=2n+1,数列{bn}满足bn=+n,(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)当n=1时,a1=S1=4.由Sn=2n+1得Sn-1=2n(n≥2),∴an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n(n≥2),∴an=(2)当n=1时,b1=+1=,∴T1=.当n≥2时,bn=+n=+n=-+n,Tn=+(-+-+-+…+-)+(2+3+4+…+n)=+(-)+(1+2+3+4+…+n)=-+,上式对于n=1也成立,∴Tn=-+.10.已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值.[解](1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8,∴a2+a4=20,∴解之得或又{an}单调递增,∴q=2,a1=2,∴an=2n.(2)bn=2n·log2n=-n·2n,∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n·2n+1,②∴①-②得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2,∴Sn+n·2n+1>50,即2n+1-2>50,∴2n+1>52,又当n≤4时,2n+1≤25=32<52,当n≥5时,2n+1≥26=64>52.故使Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.[B级能力提升练]1.(2015·日照联...