模块综合检测卷(测试时间：120分钟，评价分值：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N)第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案:C2．不等式|3x－2|<4的解集是()A.B.C.D.答案:D3．已知a，b，c，d∈R，且ab＞0，－＜－，则下列各式恒成立的是()A．bc＜adB．bc＞adC.＞D.＜答案:B4．若a，b，x，y∈R，则是成立的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案:C5．给出三个条件：①ac2＞bc2；②＞；③a2＞b2.其中能分别成为a＞b的充分条件的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案:B6．若a＞0，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范围是()A．0＜a＜1B．a＝1C．a≥1D．a＞1答案:D7．设x>0，y>0且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是()A.≤B.＋≥1C.≥2D.≥答案:D18．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有对角面的个数为()A．2f(k)B．k－1＋f(k)C．f(k)＋kD．f(k)＋2答案:B9．已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)＜k2成立C．若f(7)≥49成立，则当k＜7时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析： f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立．当k＝4时，f(4)＝25>16＝42成立，∴当k≥4时，有f(k)≥k2恒成立．答案：D10．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式·…·>成立，当n＝2时验证的不等式是()A．1＋>B.>C.≥D．以上都不对解析：当n＝2时，左边＝1＋＝1＋，右边＝＝，∴应验证1＋>.答案：A11．用数学归纳法证明“对于任意x>0时的正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()A．n0＝1B．n0＝2C．n0＝1，2D．以上答案均不正确解析： n∈N＋，∴n的最小值为1，即n0＝1.答案：A12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1(|x|≤1)，则g(x)与M的关系是()A．g(x)MB．g(x)∈MC．g(x)∉MD．不能确定解析：因为g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y＝3x＋(x>0)的最小值为________．答案：314．x，y∈R，若x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________．答案：15．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4×2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4×2k－1－2，那么当n＝k＋1时，___________________________2___________．答案：ak＋1＝2ak＋2＝2(4×2k－1－2)＋2＝4×2k－2＝4×2(k＋1)－1－216．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥3.证明： a、b、c∈R＋，＋＋＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋－3≥3＋3－3＝3.当且仅当a＝b＝c时等号成立．18．(本小题满分11分)已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，得2|x－1|≥1.∴x≥或x≤.∴不等式的解集为∪.(2) 原不等式的解集为R，∴|ax－1|＋|ax－a|≥1对一切实数x恒成立．又 |ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，∴|a－1|≥1，∴a≥2或a≤0. a>0，∴a的取值范围为[2，＋∞)．19．(本小题满分12分)设x>0，y>0，证明：(x2＋y2)>(x3＋y3).证明：证法一(分析法)所证不等式等价于(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)>x6＋y6＋2x3y3，即3x2y2(x2＋y2)>2x3y3，只需证：x2＋y2>xy， x2＋y2≥2xy>xy成立，∴(x2＋y2)>(x3＋y3)，证法二(综合法) (x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3>x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2， x>0，y>0，∴(x2＋y2)>(x3＋y3...
