高二数学导数的运算知识精讲 苏教版VIP专享VIP免费

高二数学导数的运算知识精讲一.本周教学内容：导数的运算二.重点、难点：教学重点：掌握并熟记幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导公式。教学难点：积与商的函数导数求法．三.主要知识点1、常见函数的导数公式：常数函数的导数：；幂函数的导数：；如下：；三角函数的导数：；奎屯王新敞新疆对数函数的导数：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆指数函数的导数：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆2、求导数的法则（1）和与差函数的导数：．由此得多项式函数导数（2）积的函数的导数：,奎屯王新敞新疆特例[C·f(x)]'＝Cf'(x)。如①已知函数的导数为，则_____（答：）；②函数的导数为__________（答：）；③若对任意，，则是______（答：）（3）商的函数的导数：奎屯王新敞新疆例1.求下列导数（1）y＝；（2）y＝x·sinx·lnx；（3）y＝；（4）y＝．用心爱心专心119号编辑1（1）解： y＝＝∴（2）y'＝(x·sinx·lnx)'＝(x·sinx)'·lnx+(x·sinx)(lnx)'＝[x'sinx+x(sinx)']·lnx+(x·sinx)＝[sinx+xcosx]lnx+sinx【点评】如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．（3）y'＝（4） y＝＝∴y'＝例2.求函数的导数①y＝（2x2－5x＋1）ex②y＝解：①y'＝（2x2－5x＋1）′ex＋（2x2－5x＋1）(ex)′＝(2x2－x－4)ex②∴y'【点评】①求导数是在定义域内进行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3.已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？解：（1）把x＝1代入C的方程，求得y＝－4．用心爱心专心119号编辑2∴切点为（1，－4）．Y'＝12x3－6x2－18x，∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12．∴切线方程为y＋4＝－12（x－1），即y＝－12x＋8．由得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0x＝1，－2，．代入y＝3x4－2x3－9x2＋4，求得y＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（，0）．【点评】直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4.曲线S：y＝x3－6x2－x＋6哪一点切线的斜率最小？设此点为P（x0，y0）．证明：曲线S关于P中心对称．解：y'＝3x2－12x－1当x＝＝2时，y′有最小值，故x0＝2，由P∈S知：y0＝23－6·22－2＋6＝－12即在P（2，－12）处切线斜率最小．设Q（x，y）∈S，即y＝x3－6x2－x＋6则与Q关于P对称的点为R（4－x，－24－y），只需证R的坐标满足S的方程即可．(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6＝64－48x＋12x2－x3－6（16－8x＋x2）＋x＋2＝－x3＋6x2＋x－30＝－x3＋6x2＋x－6－24＝－y－24故R∈S，由Q点的任意性，S关于点P中心对称．【点评】本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x值代回原方程．例5.一质点的运动方程为s(t)＝asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对任意的t0∈R,在t＝t0与t＝－t0时速度相同，求a、b的值。解：v(t)＝s(t)＝acost－bsint v(t)的最大值为∴a2+b2＝用心爱心专心119号编辑3又 在t＝t0与t＝－t0时速度相同∴(a+b)(cost0－sint0)＝0且对任意的t0∈R且a>0∴(a+b)＝0，∴a＝,b＝－。一、选择题1.y＝(x－1)2的导数是：A、2(x－1)B、(x－1)2C、－2D、2(1－x)2.函数在x＝2处的导数是：A、B、C、D、3.下列函数中，导数不等于的是A、2－B、2+C、D、x－4.设函数f(x)在x＝x0处有导数，且1，则f’(x0)＝A、1B、0C、2D、5.下列求导数运算正确的是6.函数y＝x2cosx的导数为A、y'＝2xcosx－x2sinxB、y'＝2xcosx+x2sinxC、y'＝x2cosx－2xsinxD、y'＝xcosx－x2sinx二、填空题7.与直线2x－6y+1＝0垂直，且与曲线y＝x3+3x2－1相切的直线方程是____8.质点运动方程是s＝t2(1+sint),则当t＝时，瞬时速度为_______9.已知f(x)＝,则f′(x)＝______10.已知f(x)＝,则f′(x)＝_______.11.已知f(x)＝,则f′(x)＝_______.三、解答题12.求下列函数导数：用心爱心专心119号编辑4（1）y＝2x5－4x2；（2）；（3）y＝x2(...