【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6简单的三角恒等变换文1．公式的常见变形(1)1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2；(2)1＋sinα＝(sin＋cos)2；1－sinα＝(sin－cos)2.(3)tan＝＝.2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(2)设α∈(π，2π)，则＝sin.(×)(3)在非直角三角形中有：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．(√)(4)设<θ<3π，且|cosθ|＝，那么sin的值为.(×)(5)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)1．已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos＝________.答案－解析 ∈(，π)，∴cos＝－＝－＝－.2.的值为________．答案－解析原式＝＝＝－.3．(教材改编)sin15°－cos15°＝________.答案－解析sin15°－cos15°＝2sin(15°－60°)＝－2sin45°＝－.4．若f(x)＝2tanx－，则f的值为______．答案8解析 f(x)＝2tanx＋＝2tanx＋＝＝，1∴f＝＝8.5．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.答案解析由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.题型一三角函数式的化简与求值例1(1)化简：＝________.(2)计算：＝________.答案(1)cos2x(2)－4解析(1)原式＝＝＝＝＝cos2x.(2)原式＝＝＝－4.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)cos·cos·cos＝________.(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.答案(1)－(2)解析(1)原式＝cos·cosπ·cos(－3π＋π)＝＝＝＝－.(2)由题意可得，cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式可得cos2θ＝，由两角差的正弦公式可得sin＝sin2θcos－cos2θsin＝.题型二三角函数的求角问题例2(1)已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝________.(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈，则α＋β＝________.答案(1)(2)－解析(1)由sinα＝，cosβ＝且α，β为锐角，2可知cosα＝，sinβ＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.(2)依题意有∴tan(α＋β)＝＝＝1.又∴tanα＜0且tanβ＜0.∴－＜α＜0且－＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.思维升华通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．(1)若α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β＝________.(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C＝________.答案(1)－(2)解析(1) tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π)．∴0<α<，又 tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1. tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.(2)由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝＝－，又0
