第二章平面向量检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知向量a=(2,3),b=(1,4),c=(k,3),若(a+b)⊥c,则k等于(A)(A)-7(B)-2(C)2(D)7解析:因为a+b=(3,7),(a+b)⊥c,所以3k+21=0,k=-7.故选A.2.△ABC中,已知A=90°,=(k,6),=(-2,3),则k的值是(D)(A)-4(B)-3(C)4(D)9解析:因为△ABC中,A=90°,所以⊥,所以·=0.因为=(k,6),=(-2,3),所以-2k+18=0,解得k=9.故选D.3.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是(C)(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析:由+=0,即=可得四边形ABCD为平行四边形,由(-)·=0,即·=0可得⊥,所以四边形一定是菱形.故选C.4.若向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得a·(a+b)=0,即a2+a·b=0,所以1+cos
=0,解得cos=-.1又∈[0,π],所以=.故选C.5.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值为(C)(A)-(B)(C)-(D)解析:由已知得(1,2)+(-3,5)=λ(4,x)⇒⇒λ+x=-⇒.故选C.6.设D为△ABC所在平面内一点,若=3,则下列关系中正确的是(A)(A)=-+(B)=-(C)=+(D)=-解析:因为=3,所以-=3(-),所以=-.故选A.7.如图,已知△OAB,若点C满足=2,=λ+μ(λ,μ∈R),则+等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:因为=2,所以=+=+2=+(-)=+.所以λ=,μ=.所以+=3+=.故选D.8.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为(A)(A)(B)(C)(D)3解析:如图,以D为坐标原点建立直角坐标系,连接AC,由题意知,∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°,则D(0,0),A(1,0),B(,),C(0,).设E(0,y)(0≤y≤),则=(-1,y),=(-,y-),3所以·=+y2-y=(y-)2+,所以当y=时,·有最小值.故选A.9.已知P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的动点,则·(+)(B)(A)最大值为16(B)是定值24(C)最小值为4(D)是定值4解析:设=a,=b,=t,则=-=b-a,a2=b2=16,a·b=4×4×cos60°=8,所以=+=a+t(b-a)=(1-t)a+tb,又+=a+b,所以·(+)=[(1-t)a+tb]·(a+b)=(1-t)a2+[(1-t)+t]a·b+tb2=(1-t)×16+8+t×16=24,所以·(+)是定值24.故选B.10.已知向量m=(a,b),n=(c,d),p=(x,y),定义新运算mn=(ac+bd,ad+bc),⊗其中等式右边是通常的加法和乘法运算.如果对于任意向量m都有mp=m⊗成立,则向量p为(A)(A)(1,0)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(0,-1)解析:因为mp=m,⊗即(a,b)(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b),⊗所以即由于对任意m=(a,b),都有(a,b)(x,y)=(a,b)⊗成立.4所以解得所以p=(1,0).故选A.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.如图,在矩形ABCD中,||=1,||=2,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=,|a-b+c|=.解析:|a+b+c|=|++|=|++|=|+|=2||=4.|a-b+c|=|-+|=|+|=0.答案:4012.设向量a=(1,0),b=(-1,m),若a⊥(ma-b),则m=.解析:a=(1,0),b=(-1,m),则ma-b=(m+1,-m).由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即m+1=0,得m=-1.答案:-113.一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力F的大小为,三个力的合力所做的功等于.解析:因为F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),则|F|=8.因为=(-1,4),则F·=-40,即三个力的合力所做的功等于-40.答案:8-40514.设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(1,y),c=(2,-6),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=,a·b=.解析:由a⊥c得2x-12=0,x=6,由b∥c得=,y=-3,a+b=(6,2)+(1,-3)=(7,-1),所以|a+b|==5.a·b=6×1+2×(-3)=0.答案:5015.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2,若=λ+,且⊥,则·=,实数λ的值为.解析:因为·=3×2×(-)=-3,所以·=(λ+)·(-)=(λ-1)(-3)+4-9λ=0,解得λ=.答案:-316.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°,其中真命题的序号为.解析:①a·b=a·ca⇔·(b-c)=0,表明a与b-c垂直,不一定有b=c,所以①不正确;对于②,当a∥b时,1×6+2k=0,则k=-3,所以②正确;结合平行四边形法则知,若|a|=|b|=|a-b|,则|a|,|b|,|a-b|可构成一正三角形,那么a+b与a的夹角为30°,而非60°,所以③错误.答案:②17.设||=1,||=2,·=0,=λ+μ,且λ+μ=1,则在方向上的投影的6取...
