2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．答案：A2．已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则AB＋(BD＋BC)等于()A.AGB.CGC.BCD.BC解析：AB＋(BD＋BC)＝AB＋BG＝AG.答案：A3．下列条件使M与A，B，C一定共面的是()A.OM＝2OA－OB＋OCB.OM＋OA＋OB＋OC＝0C.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＋MB＋MC＝0解析：根据共面向量定理知A，B，C均错，只有D能使其一定共面．答案：D4．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，且有OP＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝1是P，A，B，C四点共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若x＋y＋z＝1，则OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC，即AP＝yAB＋zAC，由共面定理可知向量AP，AB，AC共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，若P，A，B，C四点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，OA＝0，x可取任意值，不一定有x＋y＋z＝1，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题：①向量a，b，c共面，则它们所在的直线也共面；②若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM＝OA＋OB＋OC，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．上述命题中的真命题是________．解析：①中a所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a＝0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；③中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故③是真命题．1答案：③6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋AB1＋AD1与向量AC1之间的关系是________．解析：∵AC1＝AB＋AD＋AA1，AC＝AB＋AD，AB1＝AB＋AA1，AD1＝AD＋AA1，∴AC＋AB1＋AD1＝2AC1.答案：AC＋AB1＋AD1＝2AC1三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，且A1F＝FC.求证：E，F，B三点共线．证明：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c.∵A1E＝2ED1，A1F＝FC，∴A1E＝A1D1，A1F＝A1C.∴A1E＝AD＝b，A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c.∴EF＝A1F－A1E＝a－b－c＝.又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，∴EF＝EB.又∵EF与EB有公共点E，所以E，F，B三点共线．8．如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE＝OD＋xOB＋yOA，求x，y的值．解析：∵AE＝AB＋BC＋CE＝OB－OA＋OC－OB－OC＝－OA＋OC＝－OA＋(OD＋DC)＝－OA＋(OD＋AB)＝－OA＋OD＋(OB－OA)＝－OA＋OD＋OB，∴x＝，y＝－.9．(10分)如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．2(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．解析：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且PE＝PM，PF＝PN，PG＝PQ，PH＝PR.由题意知四边形MNQR是平行四边形，∴MQ＝MN＋MR＝(PN－PM)＋(PR－PM)＝(PF－PE)＋(PH－PE)＝(EF＋EH)．又MQ＝PQ－PM＝PG－PE＝EG.∴EG＝EF＋EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ＝EG，∴MQ∥EG，∴EG∥平面ABCD.又MN＝PN－PM＝PF－PE＝EF，∴MN∥EF.即EF∥平面ABCD.又∵EG∩EF＝E，∴平面EFGH与平面ABCD平行．3
