第一课时椭圆的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的简单几何性质1,2求椭圆的标准方程3,9椭圆的离心率4,7,10综合问题5,6,8,11,12,13【基础巩固】1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是(D)(A)(-1,0),(1,0)(B)(-6,0),(6,0)(C)(-,0),(,0)(D)(0,-),(0,)解析:因为椭圆的焦点在y轴上,且a2=6,所以长轴的两个端点坐标为(0,-),(0,).故选D.2.椭圆+=1和+=k(k>0)具有(D)(A)相同的长轴(B)相同的焦点(C)相同的顶点(D)相同的离心率解析:椭圆+=1和+=k(k>0)中,不妨设a>b,椭圆+=1的离心率e1=,椭圆+=1(k>0)的离心率e2==.故选D.3.已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是(B)(A)+=1(B)+=1或+=1(C)+=11(D)+=1或+=1解析:因为a=4,e=,所以c=3.所以b2=a2-c2=16-9=7.所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.故选B.4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为2x2+3y2=m(m>0)⇒+=1,所以c2=-=.所以e2=.故选B.5.(2018·衡水周测)若AB为过椭圆+=1中心的线段,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为(B)(A)6(B)12(C)24(D)48解析:如图,=+=2.又因为OF1=c=3为定值,所以点A与(0,4)重合时,OF1边上的高最大,此时△AOF1的面积最大为×4×3=6.所以的最大值为12.故选B.26.(2018·昆明质检)椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是(D)(A)3(B)(C)2(D)解析:设与直线x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0得2y2+my-4+=0.Δ=m2-8（-4）=0,即-m2+32=0,所以m=±4.所以两直线间距离最大是当m=4时,dmax==.故选D.7.(2016·上饶高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,若直线l的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右顶点,则椭圆离心率为.解析:直线l的倾斜角为,且过椭圆的右顶点(a,0),则直线l:y=tan(x-a),即y=(x-a),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,则=b,即b=a,c===a,则e==.3答案:8.(2018·许昌高二月考)若F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为.解析:因为椭圆C:+=1,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0),其短轴的端点为B(0,2),A(0,-2),所以∠F1BF2=∠F1AF2=90°.又短轴端点与F1,F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1,F2连线所成角中的最大角,所以在C上满足PF1⊥PF2的点有2个.答案:2【能力提升】9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为(A)(A)+=1(B)+y2=1(C)+=1(D)+=1解析:e==,又△AF1B的周长为4,所以4a=4,所以a=,所以c=1.所以b2=a2-c2=2.故C的方程为+=1.故选A.10.(2018·上饶质检)已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),半焦距为c,若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是(B)4(A)[,1)(B)(0,)(C)[,1)(D)(0,]解析:圆C1,C2都在椭圆内等价于(2c,0),(c,c)在椭圆内部,所以只需2c
3时,A(0,-),B(0,),M(-,0).由题意可知∠AMO≥60°,所以|OA|≥3,|-|≥3,≥3,m≥9.故选A.12.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.(1)解:由题设条件知,点M的坐标为(a,b),5又kOM=,从而=.进而得a=b,c==2b,故e==.(2)证明:由N是线段AC的中点知,点N的坐标为(,-),可得=(,).又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.【探究创新】13.在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆+=1的焦点为焦点作椭圆.(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?(2)求长轴最短时的椭圆方程.解:|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是P到F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l上求一点P,使|PF1|+|PF2|为最小.(1)如图,连接PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点F2关于直线l:y=x+9的对称点F2′,则F2′(-9,12),那么F1F2′与直线l的交点即为所求的点P.易知F1F′2的方程为2x+y+6=0.与直线y=x+9联立,得P(-5,4).(2)由(1)知2a=6,a=3,所以b2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为+=1.6
