3．2.2空间向量与垂直关系空间的垂直关系．空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________________________设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔______________________若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________________________想一想：1.若直线的一个方向向量为(1，1，1)，向量(1，－1，0)及向量(0，1，－1)都与平面α平行，则l与α有什么位置关系？2．证明空间中的垂直关系，除了空间向量法之外，还有什么方法？基础梳理a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2，λ∈Ra1a2＋b1b2＋c1c2＝0想一想：1.解析： (1，1，1)·(0，1，－1)＝0，(1，1，1)·(1，－1，0)＝0，而向量(1，－1，0)与向量(0，1，－1)不平行，∴l⊥α.2．还可以用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理．事实上，在用空间向量证明垂直时，也会用到上述定理．1．设直线l1的方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2，2，m)，若l1⊥l2，则m＝()A．1B．－2C．－3D．32．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交3．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PA⊥ABB.PA⊥CDC.PC⊥BDD.PC⊥AB自测自评1．D2．解析： a∥u，∴l⊥a.答案：B3．解析：由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．答案：D1．若n＝(1，－2，2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是()A．(1，－2，0)B．(0，－2，2)1C．(2，－4，4)D．(2，4，4)1．解析：因为(2，－4，4)＝2(1，－2，2)＝2n，所以(2，－4，4)可作为α的一个法向量．故选C.答案：C2．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)．平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝()A．4B．－4C．5D．－52．解析： α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.答案：D3．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对3．解析：AB＝(0，1，－1)，AC＝(1，0，－1)，∴n·AB＝0，n·AC＝0，∴n⊥AB，n⊥AC，故n也是α的一个法向量，又 α与β不重合，∴α∥β.答案：A4．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．4．35．(2014·青岛高二检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直5．解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，2则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，NO＝(－1，0，－2)，AM＝(－2，0，1)，NO·AM＝0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．答案：C6．平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6．解析：(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝(DB－DA＋DC－DA)·CB＝(AB＋AC)·CB＝0，故△ABC为等腰三角形．答案：B7．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，1)，C(3，λ，λ)，若AB⊥AC，则λ等于________．7．解析：AB＝(1，－3，－2)，AC＝(2，λ－2，λ－3)， AB⊥AC，∴AB·AC＝0，∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝.答案：8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________(填序号)．8．解析：AB·AP＝－2－2＋4＝0，所以AP⊥AB，①正确；AP·AD＝－4＋4＝0，所以AP⊥AD，②正确；AP是平面ABCD的法向量，所以③正确；④错误．答...
