第15练函数的概念、图象与性质[明晰考情]1.命题角度：(1)以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；(2)利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度.考点一函数及其表示要点重组(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同.(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.1.函数y＝的定义域为________.答案∪解析函数有意义，则即所以函数的定义域为.2.设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝________.答案6解析若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，得＝2(a＋1－1)，∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解.综上，f＝6.3.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是__________.答案[0,1)解析由得0≤x＜1，∴函数g(x)的定义域为[0,1).4.函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域为______.答案(－2017,2)解析f(x)＝＝＝2－，因为ax＞0，所以ax＋1＞1，所以0＜＜2019，所以－2017＜2－＜2，故函数f(x)的值域为(－2017,2).1考点二函数的图象及应用方法技巧(1)函数图象的判断方法，①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.(2)利用图象可确定函数性质、方程与不等式的解等问题.5.(2018·扬州模拟)若函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)，则y＝f(－x)＋1的图象必经过的点的坐标是________.答案(－1,3)解析根据y＝f(x)的图象经过点(1,2)，可得y＝f(－x)的图象经过点(－1,2)，函数y＝f(－x)＋1的图象经过点(－1,3).6.(2018·宿迁调研)如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则四边形ABDC的面积为________.答案log23解析设点A，B的横坐标分别为x1，x2.由题设知，x1>1，x2>1.则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.因为A，B在过点O的直线上，所以＝，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2).由BC平行于x轴知，log2x1＝log8x2，即log2x1＝log2x2，∴x2＝x.代入x2log8x1＝x1log8x2，得xlog8x1＝3x1log8x1，由x1>1知log8x1≠0，∴x＝3x1.考虑x1>1，解得x1＝.于是点A的坐标为(，log8)，即A，∴B，C，D.∴梯形ABDC的面积为S＝(AC＋BD)×BC＝×2＝log23.7.函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________.答案8解析如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.28.若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为________.答案解析不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图1知不满足题意；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，即a≤，所以a的取值范围是.考点三函数的性质与应用要点重组(1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.(3)函数周期性的常用结论：若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝，则2a是函数f(x)的周期.9.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝________.答案2解析当x＞时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.10.设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)＝__________.答案3－|x＋1|解析由题意得，f(x)的周期T＝2，当x∈[0,1]时，x＋2∈[2,3]...
