【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第十章第59课圆的综合问题要点导学要点导学各个击破与圆有关的范围与最值问题已知实数x,y满足x2+y2-6x-8y+21=0.(1)求yx的取值范围;(2)求x2+y2+2x+4y的最大值与最小值.[解答]由x2+y2-6x-8y+21=0得圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,所以方程x2+y2-6x-8y+21=0是以C(3,4)为圆心、2为半径的圆.(1)yx=-0-0yx表示圆上任意一点M(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率.作图可以发现过原点作圆的切线,两条切线的斜率分别是yx的最大值与最小值.设切线为kx-y=0,则2|3-4|1kk=2,解得k=122215,所以yx∈12-22112221,55.(2)因为x2+y2+2x+4y=(x+1)2+(y+2)2-5,所以x2+y2+2x+4y表示圆上任意一点M(x,y)与定点A(-1,-2)的距离的平方与5的差,AC=213,作图发现M2maxA=(AC+2)2=56+813,M2minA=(AC-2)2=56-813,所以x2+y2+2x+4y的最大值是51+813,最小值是51-813.[精要点评](1)对于--ybxa型问题常可以转化为圆上任意一点P与定点Q连线的斜率.(2)对于x2+y2-2mx-2ny型问题,可以转化为圆上任意一点M与定点N(m,n)间的距离的最大、最小值问题.在具体解题时注意数形结合思想的运用.如果实数x,y满足(x+2)2+y2=3.(1)求yx的最大值;(2)求2x-y的最小值.[解答](1)问题可转化为求圆(x+2)2+y2=3上任意一点到原点连线的斜率k=yx的最大值,1由图形性质可知,由原点向圆(x+2)2+y2=3作切线,其中切线斜率的最大值即为yx的最大值.设切线方程为y=kx,即kx-y=0,由2|-2-0|1kk=3,解得k=3或k=-3,所以yx的最大值为3.(2)因为x,y满足(x+2)2+y2=3,所以可设-23,3,xcosysin所以2x-y=-4+23cosθ-3sinθ=-4+15sin(θ+φ),所以2x-y的最小值为-4-15.直线与圆的位置关系(2014·江苏模拟)若圆M经过不同的三点A(0,1),B(2,0),P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程.[解答]由A(0,1),B(2,0)在圆上,可得圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,BP也是圆M的弦,所以圆心在直线x=22m上.设圆心M2,2mn,因为圆心M在直线4x-2y-3=0上,所以2m-2n+1=0.①又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P,所以kMP=-1.即2-2nmm=-1,整理得m-2n-2=0.②由①②可得m=-3,n=-52,所以M15-,-22,半径MA=14944=522.故圆M的方程为x2+y2+x+5y-6=0.(2014·佛山模拟)如图,已知半径为1的圆O1与x轴交于A,B两点,OM为圆O1的切线,切点为M,且M在第一象限,圆心O1的坐标为(2,0),二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A,B两点.2(变式)(1)求二次函数的解析式;(2)求切线OM的函数解析式.[解答](1)由题意知,圆O1的方程为(x-2)2+y2=1,令y=0,解得x=1或x=3,故点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0).由于二次函数y=-x2+bx+c经过A,B两点,则有22-110,-330,bcbc解得4,-3.bc故二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.(2)设直线OM所对应的函数解析式为y=kx,由于点M在第一象限,所以k>0.由于直线OM与圆O1相切,则22|2-0|(-1)kk=1,解得k=33,故切线OM的函数解析式为y=33x.圆的综合问题(2014·安徽示范高中模拟)已知点E(-2,0),F(2,0),曲线C上的动点M满足ME�·MF�=-3,定点A(2,1),由曲线C外一点P(a,b)向曲线C引切线PQ,切点为Q,且满足PQ=PA.(1)求线段PA的最小值;(2)若以点P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点,试求半径取最小值时圆P的标准方程.[解答](1)设点M(x,y),则ME�=(-2-x,-y),MF�=(2-x,-y),因为ME�·MF�=-3,所以(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2+y2-4=-3,即x2+y2=1,所以曲线C的方程为x2+y2=1.因为PQ=PA,所以PO2-1=PA2,即a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,化简得b=-2a+3.PA=22(-2)(-1)ab=22-444-84aaaa=2645-55a≥255,3所以线段PA的最小值为255.(2)设圆P的半径为R,因为圆P与圆C有公共点,圆C的半径为1,所以|R-1|≤CP≤R+1,即R≥CP-1且R≤CP+1,而CP=22ab=22(-23)aa=2695-55a,故当a=65时,OPmin=355.此时b=-2a+3=35,Rmin=355-1.故半径取最小值时圆P的标准方程为26-5x+23-5y=235-15.(2014·扬泰南宿二调)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0
