2.3等差数列的前n项和1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10等于(C)(A)138(B)135(C)95(D)23解析:由a2+a4=4,a3+a5=10,可得d=3,a1=-4.所以S10=-40+×3=95.2.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于(D)(A)5或7(B)3或5(C)7或-1(D)3或-1解析:由即解得或故选D.3.在等差数列{an}中,已知a6=1,则数列{an}的前11项和S11等于(C)(A)7(B)9(C)11(D)13解析:S11==11×a6=11.故选C.4.已知等差数列{an}中a1=1,Sn为其前n项和,且S4=S9,a4+ak=0,则实数k等于(C)(A)3(B)6(C)10(D)11解析:因为等差数列{an}中a1=1,Sn为其前n项和,且S4=S9,所以S9-S4=a5+a6+a7+a8+a9=0,所以5a7=0,即a7=0,由等差数列的性质可得a4+a10=2a7=0,因为a4+ak=0,所以k=10.故选C.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9等于(B)(A)45(B)81(C)27(D)54解析:因为数列{an}是等差数列,1所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即9+S9-36=2(36-9),解得S9=81.故选B.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于(A)(A)6(B)7(C)8(D)5解析:由a4+a6=-6,所以a5=-3,所以d=2,所以an=a1+(n-1)d=-11+2(n-1)=2n-13,所以数列的前6项均为负数项,当Sn取最小值时,n等于6.故选A.7.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为(B)(A)20(B)10(C)40(D)30解析:所有偶数项之和减去所有奇数项之和等于一半项数与公差的积,所以d=25-15n=10,⇒故选B.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2016>0,S2017<0,对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,则k的值为(D)(A)1006(B)1007(C)1008(D)1009解析:由S2016>0,S2017<0得a1+a2016>0,a1+a2017<0,所以a1008+a1009>0,2a1009<0,所以a1009<0,a1008>0,所以|a1009|是{|an|}中最小的值,故选D.9.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{an}的前n项和最大.解析:因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.所以当n=8时,其前n项和最大.答案:810.已知一个等差数列共有103项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比为.解析:数列共103项,则偶数项有51项,奇数项有52项,则S偶∶S奇=∶=51∶52.2答案:51∶5211.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,且=,则=.解析:=====.答案:12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=An2+Bn+1(A≠0),则=.解析:由题意设等差数列{an}的通项为an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,故an+Sn=An2+Bn+1=n2+(a1+)n+a1-d,所以A=,B=a1+,a1-d=1,==3.答案:313.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3,由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知当n=1时,a1=1.3当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1整理得an=an-1,于是a2=a1,a3=a2,…,an-1=an-2,an=an-1,将以上n-1个等式中等号两端分别相乘,整理得an=.当n=1时,也满足此式.综上可知,{an}的通项公式为an=.14.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn并求Tn的最小值.解:因为{an}为等差数列,则设其前n项和Sn=an2+bn(a,b为常数),所以=an+b,即数列{}仍为等差数列.由S7=7,S15=75知数列{}中的第7项与第15项分别为=1,=5.设数列{}的首项为c1,公差为d,则c7=1,c15=5,则d===.因为c7=c1+6d,所以c1=-2.则数列{}的前n项和Tn=nc1+·d=n2-n=(n-)2-,4所以当n=4或n=5时,(Tn)min=-5.15.已知数列{an}的通项公式an=-3n+104,数列{|an|}的前n项和为Tn,求T18及T50的值.解:由数列{an}的通项公式得Sn=-n2+n.又由an=-3n+104≥0,得n≤34,即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.所以T18=|a1|+|a2|+…+|a18|=a1+a2+…+a18=S18=-×182+×18=1359.T50=|a1|+|a2|+…+|a50|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+a50)=-(a1+a2+…+a50)+2(a1+a2+…+a34)=2S34-S50=2×(-×342+×34)+×502-×50=2127.16.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=(n∈N*),则使得为整数的正整数n的个数是(C)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:======7+.验证知,当n=1,2,3,5,11时为整数.故选C.517.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为(C)(A)(B)(C)(D)解析:S17>0⇒>0⇒>0a⇒9>0,S18<0⇒<0⇒<0a⇒10+a9<0a⇒10<0,因此>0,>0,…,>0,>0,<0,而S1a2>…>a8>a9,所以<<…<<,故选C.18.在等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=2,若某学生对其中连续10项进行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下9项的和为185,则此连续10项的和为.解析:等差数列{an}中的连续10项为ax,ax+1,ax+2,…,ax+9(x∈N*),遗漏的项为ax+n,n∈N*且1≤n≤9,则-ax+n=-(ax+2n)=9(3+2x-2)-2n+90=185,化简得9x=43+n,因为1≤n≤9,所以44≤9x≤52,所以x=5,a5=11,则连续10项的和为=200.答案:20019.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为.解析:由题意得,因为数列{an}是等差数列,且S4≥10,S5≤15,所以即6所以所以≤a4≤3+d,5+3d≤6+2d,d≤1,所以a4≤3+d≤3+1=4,所以a4的最大值为4.答案:47
