四柱坐标系与球坐标系简介[课时作业][A组基础巩固]1．点A的柱坐标是，则它的直角坐标是()A．(，1,7)B．(，1，－7)C．(2，1,7)D．(2，1，－7)解析： ρ＝2，θ＝，z＝7，∴x＝ρcosθ＝，y＝ρsinθ＝1，z＝7，∴点A的直角坐标是(，1,7)．答案：A2．若点M的直角坐标为(2,2,2)，则它的球坐标为()A.B.C.D.解析：由坐标变换公式得，r＝＝4，由rcosφ＝z＝2得cosφ＝，所以φ＝，又tanθ＝＝1，点M在第Ⅰ卦限，所以θ＝，所以M的球坐标为.答案：B3．若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为()A．1B．2C.D.解析：由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.答案：D4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为()A.B.C.D.解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.答案：C5．已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|＝()A.B.C.D．4解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，则得故P1(2，－2，0)，设点P2的直角坐标为(x2，y2，z2)，故得故P2(，1,1)．则|P1P2|＝＝.答案：A6．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.解析： (ρ，θ，z)＝，设M的直角坐标为(x，y，z)，则x2＋y2＝ρ2＝22，∴|OM|＝＝＝3.答案：317．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝______，tanθ＝______.解析：如图所示，tanφ＝＝，tanθ＝＝2.答案：28．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________.解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，所以PN⊥直线Oy.所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，所以|OM|＝＝＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，所以|MN|＝＝＝.答案：39．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．解析：由变换公式得：x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2.y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2.z＝rcosφ＝4cos＝－2.它的直角坐标为(2,2，－2)．10．已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标．解析：M(，，1)的直角坐标为∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．(－1，－1，－1)的柱坐标为：ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.tanθ＝＝1，又x<0，y<0.∴θ＝.∴其柱坐标为∴M关于原点O对称点的柱坐标为.[B组能力提升]1．球坐标系中，满足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P(r，φ，θ)的轨迹为()A．点B．直线C．半平面D．半球面解析：由于在球坐标系中，θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故2射线OQ平分∠xOy，由球坐标系的意义，动点P(r，φ，θ)的轨迹为二面角xOPy的平分面，这是半平面，如图．答案：C2．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为()A．P(5,1,1)，BB．P(1,1,5)，BC．P，B(1,1,5)D．P(1,1,5)，B解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，则x＝cos＝×＝1，y＝sin＝1，z＝5.设点B的直角坐标为(x′，y′，z′)，则x′＝sincos＝××＝，y′＝sinsin＝××＝，z′＝cos＝×＝.所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.答案：B3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1，则此长方体外接球的体积为________．解析：由A1、C1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R，则有(2R)2＝16＋25＋36＝77，所以R＝，V球＝πR3＝.答案：4．已知球坐标系中，M，N，则|MN|＝________.解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，由得∴M的直角坐标为(1，，2)，同理N的直角坐标为(3，，2)，∴|MN|＝＝2.答案：25.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．解析：点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式及得及得及结合题图得θ＝，由cosφ＝得tanφ＝.∴点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(，，1)，球坐标为，其中tanφ＝，0≤φ≤π.36．以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy，以原点指向北极点的方向为z...
