【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第二章第9课二次函数要点导学要点导学各个击破求二次函数的解析式已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,求二次函数f(x)的解析式.[思维引导]由不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),可先把f(x)表示出来,再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根求出a,从而求出f(x)的解析式.[解答]因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的实数根,所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-15.又a<0,所以a=-15.将a=-15代入①,得f(x)的解析式为f(x)=-15x2-65x-35.[精要点评]二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系.一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根,也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.【题组强化·重点突破】1.已知某二次函数图象的顶点是(1,-3),且过点P(2,0),那么此函数的解析式是.[答案]y=3x2-6x[解析]待定系数法求解析式.2.(2014·大同模拟)已知二次函数f(x)=x2-2bx+a,满足f(x)=f(2-x),且方程f(x)-3a4=0有两个相等的实数根,求函数f(x)的解析式.[解答]由f(x)=f(2-x),得对称轴x=1,所以b=1,由方程f(x)-3a4=0,即x2-2x+a4=0有两个相等的实数根,1得Δ=4-4×a4=0,解得a=4.所以f(x)=x2-2x+4.3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=-1,对任意的x∈R都有f(x)≥x-1,且f1-x2=f1--x2,求函数f(x)的解析式.[解答]由f(x)=ax2+bx+c(a≠0)及f(0)=-1,得c=-1.又对任意的x∈R,有f1-x2=f1--x2,所以f(x)图象的对称轴为直线x=-12,则-b2a=-12,a=b.又对任意的x∈R都有f(x)≥x-1,即ax2+(b-1)x≥0对任意的x∈R成立,所以2a0,Δ(b-1)-4a·00,故a=b=1.所以f(x)=x2+x-1.二次函数的图象和性质(2014·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)=x2-2ax+5.(1)若不等式f(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;(2)若a>1,且函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值.[思维引导](1)通过恒等变换将x2-2ax+5>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,等价转换为2a0恒成立,然后求出实数a的取值范围;(2)利用函数的单调性和函数f(x)的定义域和值域的关系求出实数a的值.[解答](1)因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以2a0恒成立.因为x>0,所以x+5x≥25,当且仅当x=5x,即x=5时取等号,2所以min5xx=25,所以2a<25,即a<5.故实数a的取值范围是(-∞,5).(2)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1),所以f(x)在[1,a]上为减函数,所以f(x)的值域为[f(a),f(1)],而已知值域为[1,a],所以22f(a)a-2a51,f(1)1-2a5a,解得a=2.(2014·屯溪一中)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在[0,3]上有最大值4和最小值1,求a,b的值.[解答]g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,对称轴为x=1,所以g(x)在区间[0,3]上是先减后增,且g(x)min=g(1),g(x)max=g(3),故g(1)1,g(3)4,即1b-a1,3a1b4,解得3a,43b.4一元二次方程实根的分布问题已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与x轴非负半轴至少有一个交点,求实数a的取值范围.[思维引导]本题可从韦达定理的角度进行考虑,也可从函数的角度进行探究.[解答]方法一:由题意知关于x的方程x2-(2a-1)x+a2-2=0至少有一个非负实数根,设其根为x1,x2,则12Δ0,xx0或1212Δ0,xx0,xx0,解得-2≤a≤94,故实数a的取值范围是9-2,4.方法二:由题意知f(0)≤0或f(0)0,2a-102Δ0,,解得-2≤a≤94,故实数a的取值范围是9-2,4.[精要点评]利用一元二次方程根的分布规律来解题时,首先应考虑实际问题中包含几种根的分布情况,利用数形结合的思想,再针对各种情况列出符合的条件,进一步求解出结果.3(2014·江苏模拟)若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0
