第1讲等差数列与等比数列等差、等比数列的基本运算1.(2015新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10等于(B)(A)(B)(C)10(D)12解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由题设知d=1,S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=+9=,选B.2.(2015辽宁省锦州市质量检测(一))已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于(D)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:因为a4-2+3a8=0,所以a1+3d-2+3(a1+7d)=0,所以4(a1+6d)-2=0,即4a7-2=0,又a7≠0,所以a7=2,所以b7=2,所以b2b8b11=b1q·b1q7·b1q10=(b1q6)3==8.故选D.3.(2015河南郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=.解析:设等比数列公比为q(q≠1),因为27a3-a6=0,所以27a3-a3q3=0,所以q3=27,q=3,所以====28.答案:28等差、等比数列的性质及应用4.(2015河南省六市第二次联考)已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为(C)(A)10(B)20(C)100(D)200解析:a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100.故选C.5.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(A)(A)(B)-(C)(D)解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A.6.(2015新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(C)(A)2(B)1(C)(D)解析:法一根据等比数列的性质,结合已知条件求出a4,q后求解.因为a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因为q3===8,所以q=2,所以a2=a1q=×2=.故选C.法二直接利用等比数列的通项公式,结合已知条件求出q后求解.因为a3a5=4(a4-1),所以a1q2·a1q4=4(a1q3-1),将a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,解得q=2,所以a2=a1q=.故选C.7.(2015哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学第一次联合模拟)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:依题意得S9-S5=a6+a7+a8+a9=0,所以2(a7+a8)=0,所以a7+a8=0,又a1>0,所以该等差数列的前7项为正数,从第8项开始为负数.所以当Sn最大时,n=7.故选B.8.(2015东北三校第一次联合模拟)若等差数列{an}中,满足a4+a6+a2010+a2012=8,则S2015=.解析:因为a4+a6+a2010+a2012=8,所以2(a4+a2012)=8,所以a4+a2012=4.所以S2015===4030.答案:4030等差、等比数列的综合问题9.(2015甘肃二诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为S17==17a9>0,S18==9(a10+a9)<0,所以a9>0,a10+a9<0,所以a10<0.所以等差数列为递减数列,则a1,a2,…,a9为正,a10,a11,…为负,S1,S2,…,S17为正,S18,S19,…为负,所以>0,>0,…,>0,<0,<0,…,<0,又S1a2>…>a9,所以,,…,中最大的项为.故选C.10.(2015河北沧州4月质检)等差数列{an}中,a1=10,公差d=-2,记Ⅱn=a1×a2×…×an(即Ⅱn表示数列{an}的前n项之积),则数列{Ⅱn}中的最大项是(A)(A)Ⅱ5(B)Ⅱ6(C)Ⅱ5或Ⅱ6(D)Ⅱ4解析:在等差数列{an}中,a2=8,a3=6,a4=4,a5=2,a6=0,…,故数列{Ⅱn}中的最大项是Ⅱ5.故选A.11.(2015兰州高三诊断)在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)因为{an}为等比数列,所以=q3=8;所以q=2.所以an=2·2n-1=2n.(2)b3=a3=23=8,b5=a5=25=32,又因为{bn}为等差数列,所以b5-b3=24=2d,所以d=12,b1=a3-2d=-16,所以Sn=-16n+×12=6n2-22n.一、选择题1.(2015云南第二次检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1∶a2=1∶2,则S1∶S3等于(D)(A)1∶3(B)1∶4(C)1∶5(D)1∶6解析:S1∶S3=a1∶(a1+a2+a3)=a1∶3a2,又a1∶a2=1∶2,所以S1∶S3=1∶6.故选D.2.(2015银川九中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于(B)(A)2n-1(B)（）n-1(C)()n-1(D)解析:由Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),所以Sn+1=Sn.所以{Sn}是以S1=a1=1为首项,为公比的等比数列.所以Sn=()n-1.故选B.3.(2015河北石家庄二模)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5等于(A)...
