4.1数学归纳法A级基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.答案：C2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)等于()A.B.＋C.＋D.＋＋解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：D3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于()A.B.C.D.解析：a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝＝，猜想an＝.答案：D4．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立推得当n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取什么值无关D．以上答案都不对解析：由题意当n＝2时成立可推得n＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．答案：B5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上()A．2πB．πC.D.π解析：从n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.答案：B1二、填空题6．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________．解析：f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，所以f(k＋1)＝f(k)＋－.答案：－7．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝________．解析：已知等式可写为：13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，根据上述规律，猜想13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212.答案：2128．已知平面上有n(n∈N*，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________．解析：当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k.又f(2)＝1，所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n.答案：3610n三、解答题9．求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1＋＋＋…＋＝.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N*等式都成立．10．用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除．证明：(1)当n＝1时，左边＝13＋5×1＝6，能被6整除，结论正确．(2)假设当n＝k时，结论正确，即k3＋5k能被6整除．则(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3(k2＋k＋2)＝k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)，因为k3＋5k能被6整除，(k＋1)(k＋2)必为偶数，3(k＋1)(k＋2)能被6整除，因此，k3＋5k＋3(k＋1)(k＋2)能被6整除．即当n＝k＋1时结论正确．根据(1)(2)可知，n3＋5n对于任何n∈N＋都能被6整除．B级能力提升1．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)2C.D.解析：当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k]·[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．答案：B2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为_______________．解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81·34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1答案：81·(34k＋1＋52k＋1)－56·52k＋13．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．解：当n＝2时，f(2)＝1；当n＝3时，f(3)＝3；当n＝4时，f(4)＝6.因此猜想f(n)＝(n≥2，n∈N*)．下面利用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交...
