课时作业(十七)空间向量的数乘运算A组基础巩固1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则()A．m、n、p共线B．m与p共线C．n与p共线D．m、n、p共面解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．答案：D2．在平行六面体ABCD－EFGH中，若AG＝xAB－2yBC＋3zDH，则x＋y＋z等于()A.B.C.D．1解析：AG＝AB＋AD＋DH，则x＝1，y＝－，z＝，故选C.答案：C3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：B1M＝B1B＋BM＝B1B＋BD＝B1B＋(AD－AB)＝－a＋b＋c.答案：A4．已知空间向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析： BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A，B，D三点共线．答案：A5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A.OM＝3OA－2OB－OCB.OM＋OA＋OB＋OC＝0C.MA＋MB＋MC＝0D.OM＝OB－OA＋OC解析： MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC，∴M与A，B，C必共面．答案：C6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则()A．x＝1，y＝B．x＝，y＝1C．x＝1，y＝D．x＝1，y＝解析：AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)．所以x＝1，y＝.1答案：D7．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝__________.答案：a＋b－c8．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z＝________.解析： A，B，C，D四点共面，∴OA＝mOB＋nOC＋pOD，且m＋n＋p＝1.由条件知OA＝(－2x)OB＋(－3y)OC＋(－4z)OD，∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.答案：－19．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以∴k＝±1.答案：±110．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四边形EFGH是梯形．证明： E，H分别是AB，AD的中点，∴AE＝AB，AH＝AD，EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD＝(CD－CB)＝＝(CG－CF)＝FG，∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|.又点F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．B组能力提升11．如图所示，已知三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为()A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝解析：因为点N为BC的中点，所以ON＝(OB＋OC)．又OM＝OA，所以MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA，则MG＝MN＝(OB＋OC)－OA，2所以OG＝OM＋MG＝OA＋(OB＋OC)－OA＝OA＋OB＋OC.答案：D12．有下列命题：①若AB∥CD，则A，B，C，D四点共线；②若AB∥AC，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB∥CD，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；AB∥AC且AB，AC有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．答案：②③④13．在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ND，AR＝2RE，求平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比．解析：如图，设AP＝mAG， AG＝AB＋AD＋AE＝2AM＋3AN＋AR，∴AP＝2mAM＋3mAN＋mAR.由于P，M，R，N共面，∴2m＋3m＋m＝1，从而得m＝，即＝，∴＝.14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．解析：连接BD，BG. AB＝PB－PA且AB＝DC，∴DC＝PB－PA. PC＝PD＋DC，∴PC＝PD＋PB－PA＝－PA＋PB＋PD. ＝，∴PH＝PC＝(－PA＋PB＋PD)＝－PA＋PB＋PD.又 AH＝PH－PA，∴AH＝－PA＋PB＋PD. ＝m，∴AG＝mAH＝－PA＋P...
