双曲线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为()A.B.C.D．5解析：如图所示，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，当点P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.答案：C2．若实数k满足00，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：因为e＝＝，所以＝＝3，即＝2，＝±，所以渐近线方程为y＝±x.答案：A4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()1A．x2－＝1B.－y2＝1C.－x2＝1D．y2－＝1解析：由题意知，选项A，B的焦点在x轴上，故排除A项，B项，C项的渐近线方程为y＝±2x.答案：C5．已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且PF1⊥PF2，记e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有()A．e＋e＝2B．e＋e＝4C.＋＝4D.＋＝2解析：由题意，设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2m，①由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，②又∠F1PF2＝90°，故|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③①2＋②2得|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＋2m2，④将④代入③得，a2＋m2＝2c2，即＋＝2，即＋＝2.答案：D二、填空题6．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________________．解析：依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝17．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，2又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0.答案：(－12，0)8．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．答案：2三、解答题9．(1)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过M和N(－4，－9)两点，求此双曲线的标准方程；(2)已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解：(1)设双曲线的方程为Ax2－By2＝1(AB>0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)由题意设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)．将点A(，4)或点A(－，4)的坐标代入，解得λ＝32或λ＝0(舍去)．所以所求双曲线的标准方程为－＝1.10．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．解：设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，于是有＝c，即4ab＝c2，两边平方得，16a2b2＝3c4，所以16a2(c2－a2)＝3c4，3c4－16a2c2＋16a4＝0，即3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，因为b>a>0，所以>1，e2＝＝1＋>2，故e2＝4，所以e＝2.B级能力提升1．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的3双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：因为离心率为，所以e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.答案：D2．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．答案：－123．点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且有2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的左、右两个焦点，求双曲线C1的离心率．解：因为圆的半径r＝＝c，所以圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径．所以∠F1PF2＝90°.因为2∠PF1F2＝∠PF2F1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，故|PF1|＝c，|PF2|＝c，又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.4
