第1课时空间角[基础题组练]1．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，所以BA1＝(0，1，1)，AC1＝(－1，0，1)，所以cos〈BA1，AC1〉＝＝＝，所以〈BA1，AC1〉＝60°，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.2．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选C.以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D，E，F.所以PA＝(0，0，－2)，DE＝，DF＝.设平面DFE的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，则n＝(2，0，1)，设直线PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝，所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1，2，2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.1答案：4．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，若BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为________．解析：如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，点E为AC的中点，连接BE，则BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝1××＝＝××cosθ(θ为AD与EB的夹角)，所以cosθ＝＝sinα，所以所求角的正切值为tanα＝＝.答案：5．已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系B1xyz，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E，F.(1)因为AD1＝(0，1，－1)，EF＝，所以cos〈AD1，EF〉＝＝，即AD1与EF所成的角为60°.(2)FA＝，由图可得，BA＝(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BA，FA〉|＝＝，所以cosθ＝.即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.6．(2020·宁波市余姚中学高三期中)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，点Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)设点M是线段PC上的一点，PM＝tPC，且PA∥平面MQB.①求实数t的值；②若PA＝PD＝AD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角MBQC的大小．解：(1)证明：连接BD，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是正三角形，又Q为AD中点，所以AD⊥BQ.因为PA＝PD，Q为AD中点，所以AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD.(2)①当t＝时，使得PA∥平面MQB.连接AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点，又因为BQ为△ABD边AD上的中线，所以N为正三角形ABD的重心，令菱形ABCD的边长为a，则AN＝a，AC＝a.因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，所以PA∥MN，2＝＝＝，即PM＝PC，t＝.②因为PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以QA，QB，QP两两垂直，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz，由PA＝PD＝AD＝2，则B(0，，0)，C(－2，，0)，P(0，0，)，设M(a，b，c)，则PM＝(a，b，c－)，PC＝(－2，，－)，因为PM＝PC，所以PM＝PC，所以a＝－，b＝，c＝，所以M，设平面MQB的法向量n＝(x，y，z)，由QM＝，QB＝(0，，0)，且n⊥QM，n⊥QB，得，取z＝1，得n＝(，0，1)，又平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)，所以cos〈m，n〉＝＝，由图知二面角MBQC的平面角为锐角，所以二面角MBQC的大小为60°.[综合题组练]1.(2020·杭州中学高三月考)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABC...
