2.2.2双曲线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．(2019·三明期末)双曲线C：－＝1的实轴顶点到渐近线的距离为()A．3B．4C.D．解析：双曲线C：－＝1的一个顶点为(4,0)，其中一条渐近线为y＝x，∴点(4,0)到直线y＝x的距离d＝＝，故选C.答案：C2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个顶点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为()A.B．C.D．解析：不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则F(c,0)，B(0，b)，一条渐近线方程为y＝x，直线FB的斜率为－，根据题意得＝－1，即b2＝ac，即c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝，又e>1，∴e＝.答案：D3．(2019·保定月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是()A.B．C.D．解析：双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x， e＝＝＝，且e∈，∴≤1＋≤4，∴≤≤3，∴≤≤.∴渐近线的倾斜角的范围为，故选B.答案：B4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为()A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：由题可得∴∴双曲线C的方程为－＝1，故选B.答案：B5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2),B．C．[2，＋∞)D．解析：由题意知，过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足
1，∴10，b>0)的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点重合，那么双曲线的方程为________________．解析：由题意知在双曲线中，c＝4，又＝2，∴a＝2，b2＝c2－a2＝12.故双曲线方程为－＝1.答案：－＝19．已知点P在离心率为的双曲线－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且PF1·PF2＝0，则△PF1F2的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为________．解析： 双曲线的离心率为，∴＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝2a2，由PF1·PF2＝0，可知PF1⊥PF2， ||PF1|－|PF2||＝2a，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，又 |PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2＝4a2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4c2＋8a2＝20a2，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，△PF1F2内切圆的半径为r＝＝＝.外接圆的半径为R＝c＝a，∴＝＝－1.答案：－1三、解答题10．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点；(2)焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，且顶点到渐近线的距离为1.解：(1)在圆的方程中，令y＝0，可得圆与x轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)；令x＝0方程无解，即圆与y轴没有交点，因此点(2,0)为双曲线的右顶点，(4,0)为双曲线的右焦点，即a＝2，c＝4，从而双曲线的标准方程为－＝1.(2)已知焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x＝±x，故a＝b.又顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离为1，则＝1，a＝2，b＝a＝.故双曲线的标准方程为－＝1.11．(2019·海口月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为2.2(1)求双曲线的方程及其渐近线的方程；(2)若直线y＝x＋m被双曲线C截得的弦长为4，求m的值．解：(1) 离心率为，实轴长为2，∴＝，2a＝2，解得a＝1，c＝，∴b2＝c2－a2＝2，∴所求双曲线C的方程为x2－＝1，渐近线方程为y＝±x.(2)设直线与双曲线的交点为A，B，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得x2－2mx－m2－2＝0，∴Δ＝4...
