第1课时平行射影、平面与圆柱面的截线素质训练1．两条相交直线的平行射影是()A．两条相交直线B．一条直线C．一条折线D．两条相交直线或一条直线【答案】D【解析】两条相交直线确定一个平面，若这个平面与投影方向不平行，则两条相交直线的平行射影为两条相交直线；若这个平面与投影方向平行，则两条相交直线的平行射影为一条直线．故选D．2．已知圆柱轴截面面积为Q，那么侧面积为()A．πQB．πQC．2πQD．4πQ【答案】B【解析】若圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱侧面积S侧＝2πrh，Q＝2rh，即S侧＝πQ.故选B．3．(2016年安徽模拟)如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为R，长半轴a＝＝.∵a2＝b2＋c2，∴c＝.∴椭圆的离心率为e＝＝.故选A．4．已知圆柱的底面半径为2，平面α与圆柱斜截口的离心率为，则椭圆的长半轴长是________．【答案】【解析】由Dandelin双球法知，圆柱的底面半径为椭圆的短半轴，所以b＝2.又离心率为，所以e＝＝⇒c＝a.又a2＝b2＋c2，所以a2＝22＋2，解得a＝.5．已知椭圆两条准线间的距离为8，离心率为，则Dandelin球的半径是________．【答案】【解析】依题意，得解得∴b＝＝＝.∴Dandelin球的半径为b＝.6．一圆柱底面半径为2，一截面与轴成60°角，从截平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离为________．1【答案】【解析】由题意知截线是一个椭圆，并且其长轴长为2a＝，解得a＝.又椭圆的短轴长为圆柱的底面直径，所以2b＝4，即b＝2.∴c＝＝＝.又两个切点即为椭圆的两个焦点，故这两个切点的距离为2c＝.7．往一个放在桌面上的圆柱形玻璃杯中倒入半杯水，水平面所成的图形是______，如果将玻璃杯倾斜一定角度(与桌面不垂直)，此时水平面的图形是______．【答案】圆椭圆【解析】当玻璃杯与桌面垂直时，水平面所成的图形是圆；当玻璃杯倾斜时，水平面的图形是椭圆．8．已知一圆柱的底面半径为3，圆柱的一截面的Dandelin双球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．【解析】由Dandelin双球法知，两球的球心距等于截面椭圆的长轴的长，圆柱的底面半径为椭圆的短半轴的长，截面与两球的两切点即为截面椭圆的两焦点．∴2a＝12，b＝3，∴a＝6，b＝3.∴c＝＝＝3.∴两焦点间的距离为2c＝6.∴椭圆的离心率e＝＝＝.设截面与圆柱母线的夹角为φ，则cosφ＝e＝，又0<φ<，∴φ＝.能力提升9．如图所示，设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的什么心？【解析】如图所示，连接AO，BO，CO.因为点O为P在平面ABC上的正射影，所以AO，BO，CO分别为PA，PB，PC在平面ABC上的正射影．又因为PA＝PB＝PC，所以AO＝BO＝CO.所以O为△ABC的外心．23
