高二数学排列与组合【本讲主要内容】排列与组合排列与组合的概念、排列数与组合数公式、组合数的性质【知识掌握】【知识点精析】1.排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。2.排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。3.排列数公式：（）排列数公式及其推导：由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数。由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴=。由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=，求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：（）说明：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。4.阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘。规定。5.排列数的另一个计算公式：=6.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。说明：（1）不同元素；（2）“只取不排”——无序性；（3）相同组合：元素相同。7.组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号表示。8.组合数公式：或。9.组合数的性质性质1：。规定：；用心爱心专心性质2：＝+。【解题方法指导】例1.（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？剖析：以上几题都是从n个元素中取出m个的一个排列。解：（1）；（2）；（3）。例2.计算：①；②。剖析：对排列数公式的考察解：①原式=；②原式例3.（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列＝5040。（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040。（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720。（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法。（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有＝2400种排列方法。解法2：（排除法）：若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种。说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元用心爱心专心素可以优先考虑。（6）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法。（7）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种。说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）。例4.（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？解：。（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2类：第一类2名男生和2名女生参加，有种选法；第二类3名男生和1名女生参加，有种选法。依据分类计数原理，共...
