高二数学第二章第4－6节用向量讨论垂直与平行夹角的计算；距离的计算北师大版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1应用空间向量证明平行、垂直，求“角”和“距离”二、教学目标：（1）通过本讲的学习能熟练地掌握利用空间向量证明平行与垂直、求线线角、线面角、面面角，及利用空间向量求点线距离，线线距离，点面距离，线面距离、面面距离的方法。进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。（2）在利用空间向量求距离和角的过程中体会函数的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想的应用。三、知识要点分析：A：求空间角1、求异面直线所成的角设a，b两直线异面，所成的角是，分别是直线a，b的方向向量，则，由此式求角。2、求线面角：如图所示，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，则AB与平面所成的角为：图1图23、求面面角：设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：（图2）；用心爱心专心（图3）B：求空间距离1、异面直线之间的距离：方法指导：如图4，①作直线a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为，其中2、点到平面的距离：方法指导：如图5，若点B为平面α外任一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为用心爱心专心3、直线与平面间的距离：方法指导：如图6，直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量4、平面与平面间的距离：方法指导：如图7，两平行平面之间的距离：，其中。是平面、的法向量。【典型例题】考点一：求异面直线所成的角和距离例1.已知正三棱柱ABC－中，P，Q是棱上的点且有，AP=1，且PQ与平面，平面所成的角都是30°（1）试确定Q点的位置。（2）求PQ与BC所成的角的余弦值。（3）求PQ与AB之间的距离。【思路分析】（1）首先建立空间坐标系（如图）Q点是动点，由已知确定Q点的坐标，就可以确定Q点的位置。用心爱心专心（2）求的坐标，利用（是异面直线PQ，BC所成的角）（3）求异面直线PQ，AB的公垂线的方向向量，再利用求距离。解：（1）建立如图所示的坐标系，设底面边长为a，则C（0，0，0），B（0，a，0），，A（，P（，设Q点坐标为（0，y，，下面确定y的值。由题易知平面的法向量是，取AB的中点D，由三棱柱是正三棱柱知：是平面的法向量。，由PQ与两平面所成的角相等，即Q点与C1点重合。（2）当y=0时，，由已知：PQ与平面所成的角是30°得：sin30°=|cos|=||，设PQ与BC所成的角是，则cos。（3）设异面直线AB，PQ即AB，PC1的公垂线的方向向量是用心爱心专心令x=1，则，，故d==【说明】利用空间向量求异面直线之间的距离关键是找出异面直线的公垂线的方向向量，可通过方向向量与异面直线垂直，列出方程组求得。考点二：求线面角和面面角例2.如图ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，AA1：AB=2：1，求（1）A1F与平面BCC1B1所成的角的正弦值。（2）求二面角B－A1C1－C的余弦值【思路分析】建立空间坐标系（1）先找出平面BCC1B1的法向量再求的坐标，（2）分别求出平面A1C1C，平面BA1C1的法向量，再求面面角。解：（1）建立如图所示的坐标系。设AB=2，则AA1=4.则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（1，1，4），F（1，2，2），A1（2，0，4），B1（2，2，4）.，平面的法向量，设与平面所成的角是（事实上：=（0，2，0），故sin=|cos|即sin=.（也可以求的夹角）（2）设平面由，令z=1，则x=y=2，同理可求：（1，1，0）两平面所成的二面角的余弦值是cos【说明】利用空间向量求二面角时，可采用在两个半平面内找到垂直于棱的两条射线所在的向量，这两个向量所成的角也是二面角的平面角。如本题：，故所成的角就是要求的二面角。例3.已知如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。用心爱心专心（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角的余弦值；（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成的二面角余弦值的大小。解：以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.则,A(0,0,0)P(0,0,1),D...
