3.1.3两个向量的数量积课时过关·能力提升1.|a+b|=|a-b|的充要条件是()A.a=0或b=0B.a∥bC.a·b=0D.|a|=|b|答案:C2.下列式子正确的是()A.|a|·a=a2B.(a·b)2=a2·b2C.(a·b)c=a(b·c)D.|a·b|≤|a|·|b|答案:D3.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC¿π3,cos则<⃗OA,⃗BC≥()A.12B.√22C.−12D.0解析:∵⃗BC=⃗OC−⃗OB,∴⃗OA·⃗BC=⃗OA·⃗OC−⃗OA·⃗OB=0,∴¿⃗OA,⃗BC≥90°,故cos¿⃗OA,⃗BC≥0.答案:D4.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足⃗AB·⃗AC=0,⃗AC·⃗AD=0,⃗AB·⃗AD=0,则△BCD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:∵⃗BC=⃗AC−⃗AB,⃗BD=⃗AD−⃗AB,∴⃗BC·⃗BD=⃗AB2>0,∴∠DBC为锐角,同理可得∠BCD,∠BDC均为锐角.答案:B★5.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角是()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,可得a·b=-1,1∴cos
¿a·b|a||b|=−12,故向量a与b的夹角是120°.答案:C6.已知|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,则|a+b+c|=.解析:因为|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)=3,所以|a+b+c|¿√3.答案:√37.已知a≠c,b≠0,a·b=b·c,且d=a-c,则=.解析:∵a·b=b·c,∴(a-c)·b=0,∴b⊥d.故=90°.答案:90°8.已知向量a,b之间的夹角为30°,|a|=3,|b|=4,求a·b,a2,b2,(a+2b)·(a-b).分析:利用向量数量积的定义、性质及运算律.解:a·b=|a||b|cos=3×4×cos30°=6√3,a2=a·a=|a|2=9,b2=b·b=|b|2=16,(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=9+6√3−32=6√3−23.★9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.分析:选择{⃗AB,⃗AD,⃗AA1}为基底,先求⃗A1B·⃗AC,再利用公式cos¿a·b|a||b|求cos¿⃗A1B,⃗AC>,最后确定<⃗A1B,⃗AC>.解:不妨设正方体的棱长为1,⃗AB=¿a,⃗AD=¿b,⃗AA1=¿c,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.∵⃗A1B=¿a-c,⃗AC=¿a+b,∴⃗A1B·⃗AC=¿a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1.而∨⃗A1B∨¿∨⃗AC∨¿√2,∴cos<⃗A1B,⃗AC≥12.2又<⃗A1B,⃗AC>¿∈[0,π],∴¿⃗A1B,⃗AC≥π3.故异面直线A1B与AC所成的角为π3.3
