1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性A级基础巩固一、选择题1．下列函数中，周期为π的函数是()A．y＝2sinxB．y＝cosxC．y＝sinD．y＝cos解析：根据公式T＝可知函数y＝cos的最小正周期是T＝＝π.答案：D2．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝()A.B.C.D.解析：因为f(x)是偶函数，所以＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝π＋3kπ(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝π.答案：C3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是()A．y＝B．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝ex－e－x解析：对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sinx|和y＝cosx为偶函数．答案：D4．函数y＝sin是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析：由诱导公式得，y＝sin＝－cosx，所以该函数为周期为2π的偶函数．答案：D5．函数y＝sin的图象()A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称解析：令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，排除B，D；令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋，k∈Z，当k＝1时，对称中心为.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝cos2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．解析：函数的定义域为R，f(－x)＝cos2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos2x＋1＝f(x)．故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．答案：y轴7．已知f(x)是R上的奇函数，f(x＋3)＝f(x)，则f(2016)＝1________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x＋3)＝f(x)，所以T＝3，所以f(2016)＝f(672×3)＝f(0)＝0.答案：08．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝________．解析：因为f(x)的周期为，且为偶函数，所以f＝f＝f＝f，又因为f＝f＝f＝f＝1，所以f＝1.答案：1三、解答题9．已知函数y＝sinx＋|sinx|.(1)画出函数的简图．(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx，求当x∈时f(x)的解析式．解：x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈.B级能力提升1．函数y＝的奇偶性为()A．奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．偶函数D．非奇非偶函数解析：由题意知，1－sinx≠0，即sinx≠1，所以函数的定义域为，由于定义域关于原点不对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案：D2．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为函数f(x)以2为周期，2所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，且解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．答案：53．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．解：当x∈时，g(x)＝f＝cos.因为x＋∈，所以由g(x)＝解得x＋＝－或，即x＝－或－.又因为g(x)的最小正周期为π.所以g(x)＝的解集为.3
