课时达标训练(十二)“解析几何”专题提能课A组——易错清零练1．过点P(2，－1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sinα＝，因为0≤α<π，所以cosα＝±＝±，所以tanα＝＝±，则所求直线方程为y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝02．(2019·南京四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点在直线l：x＋y－4＝0上，且双曲线的一条渐近线与直线l垂直，则该双曲线的方程为________．解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，因为直线l与y轴的交点坐标为(0，4)，所以双曲线的焦点坐标为(0，±4)，即c＝＝4.又直线l的斜率为－，直线l与双曲线的一条渐近线垂直，所以＝，所以可得a2＝4，b2＝12，故该双曲线的方程为－＝1.答案：－＝13．(2019·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线－＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.因为AF＝5，所以点A到抛物线的准线的距离也为5，所以A(4，4)或A(4，－4)，又点A在双曲线上，所以－＝1，得b＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x4．若关于x的方程＝a(x－1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．解析：作出函数y＝的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a(x－1)＋1，它是过点A(1，1)的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.答案：5．(2019·姜堰中学模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0，a>1)的离心率e＝，右顶点到直线ax＋by＝1的距离为1，过点P(0，2)的直线l交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设M为AB的中点，连接OM并延长交椭圆C于点N，若OM＝ON，求直线AB的方程；(3)若直线OB交椭圆C于另一点Q，求△ABQ面积的最大值．1解：(1) 离心率e＝，∴＝，＝，得＝.设椭圆C的右顶点(a，0)到直线ax＋by＝1的距离为d，则d＝＝1，将a2＝3b2代入上式得，d＝＝1，得b＝1，a＝或b＝，a＝. a>1，∴a＝，b＝1.故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)显然过点P的直线l的斜率存在且不为0，不妨设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)．由消去y并整理得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，由Δ＝144k2－36(1＋3k2)＝36(k2－1)>0，得k2>1.设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x3，y3)，则x1，2＝.∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝k·＋2＝. OM＝ON，∴即 点N(x3，y3)在椭圆上，∴＋y＝1，即4x＋12y＝3，即4＋12＝3，整理得3k4－14k2－5＝0，解得k＝±.故直线AB的方程为y＝±x＋2.(3)连接AO，由椭圆的对称性可知，BO＝OQ，则S△ABQ＝2S△AOB.设点O到直线AB的距离为h，由(2)得AB＝·＝，h＝，∴S△AOB＝AB×h＝××＝，∴S△ABQ＝2S△AOB＝.令t＝，则t>0，k2＝t2＋1，S△ABQ＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，k2＝，即k＝±时等号成立，2∴(S△ABO)max＝.B组——方法技巧练1．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.由|AB|＝2得＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.答案：42.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得AF1＝3F1B，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.答案：x2＋y2＝13．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，右焦点F(c，0)，根据对称性，不妨设平行线方...
