高二数学棱柱知识精讲一.本周教学内容：棱柱二.本周教学重难点：1.棱柱的概念2.棱柱的分类3.棱柱的性质4.特殊四棱柱的关系[例1]一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，若侧棱和底面三角形的相邻两边都成角，求这个三棱柱的体积。解：过点作面ABC于O，则O落在内，再过O点分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结，，则∴为直角三角形 ，∴，同理∴∴OE=OF∴AO是的平分线，由是正三角形知在中，∴∴斜三棱柱的体积是[例2]正三棱柱的底面边长为，在侧棱上截取，在侧棱上截取，过A、D、E作棱柱的截面。（1）求证：截面侧面；（2）求截面面积。用心爱心专心115号编辑1（1）证明：延长ED、CB交于F，连结AF ∴∴∴，即又∴侧面由FA截面ADE∴截面ADE⊥侧面（2）解：在中，，∴又D为斜边EF的中点∴[例3]在长方体中，（1）设对角线D1B与自出发的三条棱分别成、、角，求证：；（2）设与经过的三个表面成、、角，求证：证明：（1）如图，连结，不妨设，长方体的三条棱长分别为设，则同理∴（2）连结∴平面∴就是与平面所成的角，不妨设，则用心爱心专心115号编辑2同理，∴[例4]在底面边长为，侧棱长为的正四棱柱中，求：（1）点B到平面的距离；（2）以为棱，和为面所成二面角的正切值。解：（1）如图，设点E为AC的中点，作于O 平面ABCD∴AC⊥平面，又面∴∴平面∴BO为B到平面AB1C的距离在中，，∴由面积关系得（2）由平面∴∴是二面角的平面角在中，用心爱心专心115号编辑3∴∴[例5]已知在斜三棱柱中，平面与平面所成的二面角为，与、的距离分别为，侧面的面积为，求此三棱柱的侧棱长。解：如图所示，在边上取一点E，过点E在平面中作，交于点G，过点E在平面中作，交于点F，则为已知二面角的平面角，所以，连结。因为，所以平面。由棱柱的性质知，，所以，。因而为侧面的高。由题意知，，而所以在中，又，即所以，所以三棱柱的侧棱长为。[例6]平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面ABCD内的射影H是CD的中点，与底面ABCD成角，二面角的平面角等于，求该平行六面体的表面积与体积。解：如图所示，底面ABCD，交CD于H，BC⊥CD，则BC⊥C1C，两侧面用心爱心专心115号编辑4与是矩形，易知是与底面所成角，则，作于E，连结AE，易知AD⊥侧面，则，等于二面角的平面角，，且，于是平行六面体的侧面积为：体积为[例7]在各棱长均为1的正三棱柱中，（1）求与侧面所成角的正切值；（2）如果M为的中点，求截面与底面所成角的大小。解：（1）如图，取的中点D，连结BD、DC1 ∴由为正三棱柱∴∴侧面∴为和侧面所成的角，∴（2）如图， 是在底面上的射影∴，取AB1的中点N，连结DN用心爱心专心115号编辑5 ，而∴又 M为CC1的中点∴∴又 面∴平面且∴，而∴∴（答题时间：45分钟）一.填空题：1.一个棱柱为正四棱柱的条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.每个侧面都是全等的矩形的四棱柱D.底面是正方形，相邻两个侧面是矩形2.下面的选项中，正确的是（）A.侧棱不垂直于底面的棱柱不是正棱柱B.斜棱柱的侧棱有时垂直于底面C.底面是正多边形的棱柱为正棱柱D.正棱柱的高可以与侧棱不相等3.正方体的一条对角线与任一个面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.4.设长方体的全面积是22，所有棱长之和为24，则长方体的对角线长为（）A.6B.C.D.5.正方体两条对角线所成的锐角的斜弦值为（）A.0B.C.D.6.长方体中，，，点E、F、G分别是、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A.B.C.D.用心爱心专心115号编辑67.直平行六面体的底面为菱形，其底面面积为，两个对角面面积是和，那么它的体积是（）A.B.C.D.8.已知三棱柱的体积是V，E、E1分别是、的中点，F、F1分别是AC、A1C1的中点，则三棱柱的体积是（）A.B.C.D.无法计算二.解答题1.如图，正三棱柱的底面边长为8，面对角线，D为AC的中点。（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小。2.四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，上底一个顶点与下底面四个顶点等距离。（1）求证：两个对角面一个是矩形，一个垂直于底面，且两个对角面互相垂直；（2）求两对角面的面积。用心爱心专心115号编辑7[参考答案]htt...
