抛物线的简单几何性质1．抛物线的简单几何性质.类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴________顶点________离心率______开口方向________________2.焦半径与焦点弦．抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径|PF||PF|＝x0＋|PF|＝－x0|PF|＝y0＋|PF|＝－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2想一想：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB中，有没有长度最短的弦？基础梳理1．x轴y轴O(0，0)e＝1向右向左向上向下2．想一想：解析：过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的弦，叫做抛物线的通径，通径是长度最短的焦点弦，长度为|AB|＝2p.1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16y2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1，0)，且AB＝1，则点A的横坐标为()A．－2B．0C．－2或0D．－2或23．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．161自测自评1．D2．解析：由y2＝4x知B(1，0)为焦点，准线为x＝－1，由抛物线定义知xA＋＝1，得xA＝0.答案：B3．B1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y1．解析：设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.答案：C2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．82．解析：由抛物线方程y2＝x，知p＝，又因为|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x0＝1.答案：A3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．(，±)B．(，±)C．(，)D．(，)3．解析：由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F(，0)，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为(，±)，故选B.答案：B4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．4．解析：因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．所以所求抛物线方程为x2＝±16y.答案：x2＝±16y5．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝05．解析：设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点F，所以3×－2×0＋c＝0，2所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.故选A.答案：A6．(2014·辽宁卷)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－6．解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.答案：C7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．7．解析：由题意知B(，－)，代入方程－＝1得p＝6.答案：68．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于________．8．解析：如图由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO，同理∠BFB1＝∠B1FO，∴∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.答案：90°9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．9．分析：因顶点在原点，对称轴是y轴，点M(m，－3)位于第三、四象限，故可确定所求抛...
