第2课时用向量方法解决垂直问题课时过关·能力提升基础巩固1已知平面α的一个法向量为n=(2,-1,0),则下列向量中与α垂直的是()A.(-1,1,1)B.(1,3,32)C.(3,-32,0)D.(4,−2,2)解析:与平面α垂直的向量与α的法向量平行,只有C项符合.答案:C2下列说法不正确的是()A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也互相垂直D.如果a,b与平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量解析:选项D中,若a,b共线,则n就不是平面α的一个法向量.答案:D3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),⃗CE=(1,−1,2),⃗AC=(−2,2,0),⃗DB=(2,2,0),⃗DA1=(2,0,2),⃗AA1=(0,0,2).因为⃗CE·⃗AC=−2−2+0=−4≠0,所以CE与AC不垂直.同理可知CE⊥BD,CE与A1D,A1A均不垂直.1答案:B4设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于()A.-2B.2C.6D.10答案:D5如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB¿12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定解析:由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故⃗DQ=(1,1,0),⃗DC=(0,0,1),⃗PQ=(1,−1,0).故⃗DQ·⃗PQ=0,⃗DC·⃗PQ=0,即⃗PQ⊥⃗DQ,⃗PQ⊥⃗DC,故PQ⊥平面DCQ,平面PQC⊥平面DCQ.答案:B26已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若⃗PA⊥⃗AB,⃗PA⊥⃗AC,则点P的坐标为¿.解析:由题意得⃗PA=(−x,1,−z),⃗AB=(−1,−1,−1),⃗AC=(2,0,1),由⃗PA⊥⃗AB,得⃗PA·⃗AB=x−1+z=0,由⃗PA⊥⃗AC,得⃗PA·⃗AC=−2x−z=0,解得{x=-1,z=2.故P(-1,0,2).答案:(-1,0,2)7如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,3a),D(√2a2,√2a2,3a),C(0,√2a,0).设点E的坐标为(√2a,0,z),则⃗CE=(√2a,−√2a,z),⃗B1E=(√2a,0,z−3a),⃗B1D=(√2a2,√2a2,0),故⃗CE·⃗B1D=0.要使CE⊥平面B1DE,则需⃗CE⊥⃗B1E,即⃗CE·⃗B1E=0,故2a2+z2-3az=0,解得z=a或z=2a.答案:a或2a38如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,√3¿,D(√3,−1,0),C(0,2,0).因为E(0,12,√32),F(√32,12,0),所以⃗EF=(√32,0,-√32),⃗BC=(0,2,0).所以⃗EF·⃗BC=0.所以⃗EF⊥⃗BC.所以EF⊥BC.9如图,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别为PC,AB的中点,求证:MN⊥平面PCD.分析:设⃗AP=¿a,⃗AB=¿b,⃗AD=¿c,则{a,b,c}为基底,利用a,b,c把⃗MN,⃗DC,⃗PD表示出来,证明⃗MN⊥⃗DC,⃗MN⊥⃗PD,即可证明MN⊥平面PCD.证明:设⃗AP=¿a,⃗AB=¿b,⃗AD=¿c,则{a,b,c}为空间的一个基底,4则⃗MN=⃗AN−⃗AM=12⃗AB−12(⃗AP+⃗AC)=12b−12¿a+b+c)=−12¿a+c).因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,且AB⊥AD.所以a·b=0,b·c=0,c·a=0.所以⃗MN·⃗DC=−12¿a+c)·b=0,⃗MN·⃗PD=−12¿a+c)·(c-a)=−12¿|c|2-|a|2)=−12(¿⃗AD∨2−¿⃗AP∨2)=0.所以MN⊥DC,MN⊥PD.又DC∩PD=D,所以MN⊥平面PCD.能力提升1四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,则下列等式①⃗PA·⃗AB=0;②⃗PC·⃗BD=0;③⃗PA·⃗CD=0;④⃗PC·⃗AB=0中成立的等式个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C2已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()A.(1,-1,1)B.(1,3,32)C.(1,-3,32)D.(-1,3,-32)5解析: A∈α,且A(2,-1,2),n=(3,1,2)为α的法向量,∴⃗PA⊥n.选项B中,⃗PA=(1,-4,12),⃗PA·n=3-4+1=0,则⃗PA...
