高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理课堂探究 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

四直角三角形的射影定理课堂探究探究一与射影有关的计算问题在利用直角三角形的射影定理求解线段的长度时，往往需要创造应用射影定理的条件，即构造垂直关系，可以构造直角三角形，也可以构造垂直关系．【典型例题1】如图，在△ABC中，D，F分别在AC，BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.思路分析：由题意可得，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形．因此，可以过D作DE⊥BC.由于DE，AF均垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.解：在△ABC中，设AC＝x.∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即AF2＝x2－1.∴AF＝.在△BDC中，过D作DE⊥BC于E.∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC.又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴＝.∴DE＝＝.在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，即2＋2＝12，∴＋＝1.整理得x6＝4.∴x＝.∴AC＝.点评本题在直角三角形中两次利用射影定理找到边之间的关系，最后再利用勾股定理求解．探究二与射影定理有关的证明问题利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见，在解题过程中，应弄清射影定理中成比例的线段，再结合比例的基本性质加以灵活运用．【典型例题2】如图所示，∠CAB＝90°，AD⊥BC，△ACE，△ABF是正三角形．求证：DE⊥DF.1思路分析：由于图中所给的等角比较多，则转化为证明∠FDE＝90°，即只需证∠FDA＋∠ADE＝90°.又AD⊥BD，则只需证明∠ADE＝∠FDB，从而转化为证明△FBD∽△EAD.证明：∵∠CAB＝90°，AD⊥BC，∴AB2＝BD·BC，即＝.又∠ABC＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA，∴＝.又AC＝AE，AB＝BF，∴＝，即＝.又∠ABD＝∠CAD，∠FBD＝60°＋∠ABD，∠EAD＝60°＋∠CAD，∴∠FBD＝∠EAD.∴△EAD∽△FBD.∴∠BDF＝∠ADE.∴∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF.又∵AD⊥BD，∴∠FDA＋∠BDF＝90°.∴∠FDE＝90°.∴DE⊥DF.规律总结证明与直角三角形有关的问题时，常用到射影定理来构造出比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．探究三易错辨析易错点：射影定理应用有误【典型例题3】若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，AB＝25，AC＝20，试确定DB和CD的长．错解：∵AC⊥CB，CD⊥AB，∴由射影定理得AD2＝AC·AB＝20×25＝500，∴AD＝10.∴DB＝AB－AD＝25－10，又CD2＝DB·AD＝(25－10)×10＝250－500＝250(－2)，∴CD＝5.错因分析：用错了射影定理，应该为AC2＝AD·AB.正解：∵AC⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可知，AC2＝AD·AB，CD2＝AD·DB，∴AD＝＝＝16，∴DB＝AB－AD＝25－16＝9，∴CD＝＝＝12.2