第二篇专题四第2讲数列求和及综合应用[限时训练·素能提升](限时50分钟，满分76分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．(2018·邯郸二模)设{an}是公差为2的等差数列，bn＝a2n，若{bn}为等比数列，则b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝A．142B．124C．128D．144解析因为{an}是公差为2的等差数列，bn＝a2n，所以an＝a1＋(n－1)×2＝a1＋2n－2，因为{bn}为等比数列，所以b＝b1b3.所以(a4)2＝a2·a8，所以(a1＋8－2)2＝(a1＋4－2)(a1＋16－2)，解得a1＝2，所以bn＝a2n＝2＋2×2n－2＝2n＋1，所以b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝22＋23＋24＋25＋26＝124.答案B2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝a5.令bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前2n项和T2n为A．－nB．－2nC．nD．2n解析设等差数列{an}的公差为d，由S3＝a5，得3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，∴an＝2n－1，∴bn＝(－1)n－1(2n－1)，∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝－2n，选B.答案B3．(2018·大连模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，(an－Sn－1)2＝SnSn－1，若bn＝log2，则bn＝A．2n－3B．2n－4C．n－3D．n－4解析当n≥2时，(an－Sn－1)2＝SnSn－1，即(Sn－2Sn－1)2＝SnSn－1，即(Sn－Sn－1)(Sn－4Sn－1)＝0， 正项数列{an}的前n项和为Sn，∴Sn≠Sn－1，∴Sn＝4Sn－1，∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为4，∴Sn＝4n－1，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1－4n－2＝3×4n－2，∴an＝∴当n≥2时，bn＝log2＝log222n－3＝2n－3，又当n＝1时也符合，故bn＝2n－3(n∈N*)，故选A.答案A4．(2018·昆明第三次综合测试)已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n有A．最小值63B．最大值63C．最小值31D．最大值31解析 an＝log2(n∈N*)，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝log2＋log2＋…＋log2＝(log22－log23)＋(log23－log24)＋…＋log2(n＋1)－log2(n＋2)＝log22－log2(n＋2)＝log2，由Sn<－5得<即n>62，故使Sn<－5成立的正整数n有最小值63.答案A5．(2018·桂林联考)已知各项都为正数的等比数列{an}，满足a3＝2a1＋a2，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为A．2B.C.D．11解析正项等比数列{an}满足：a3＝2a1＋a2，可得a1q2＝2a1＋a1q，即q2－q－2＝0，∴q＝2， ＝4a1，∴aman＝16a，∴(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a，∴a·2m＋n－2＝16a，∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立，故＋的最小值为，故选B.答案B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6．(2018·抚顺一模)已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝log2an，且数列{bn}的前10项的和为25，那么＋＋＋…＋的值为________．解析数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝log2an，且数列{bn}的前10项的和为25，所以b1＋b2＋…＋b10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log2(a21＋2＋…＋9)＝25，所以a×245＝225，可得a1＝.那么＋＋＋…＋＝4＝4×＝.答案7．(2018·佛山质检)在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60＝________．解析解法一依题意得，当n是奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a1＋a3＋a5＋…＋a59＝30×1＋×1＝465；当n是偶数时，an＋2＋an＝1，即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a58＋a60＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a58＋a60)＝15.因此，该数列的前60项和S60＝465＋15＝480.解法二 an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}为等差数列，且a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8，S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…，∴S60＝4×15＋×4＝480.答案4808．(2018·广元适应性统考)在数列{an}中，a1＝，an＝(n≥2，n∈N*)，设bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，则16Sn＋＋＝________．解析 a1＝，an＝(n≥2，n∈N*)，∴a＝a＋2，a＝2，∴{a}是以2为首项，以2为公差的等差数列，...
