2.4.2抛物线的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．方程y＝－2所表示曲线的形状是()【答案】D[方程y＝－2等价于故选D.]2．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．16B．12C．10D．8【答案】B[由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.]3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B[点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【答案】B[易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16【答案】B[设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2,0)所以＝－，即y0＝4.由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6.从而|PF|＝6＋2＝8.]二、填空题6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.【答案】0或1[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.]7．2017设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．【答案】(x＋1)2＋(y－)2＝1[由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.基础篇1由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.]8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________.【答案】[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1即直线方程为x－y＋1＝0直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]三、解答题9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程．(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【答案】(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0.又＝＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.10．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．求证：(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；(3)＋为定值.【答案】(1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，∴y＋y＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4p2m2＋2p2，∴x1＋x2＝2pm2＋p，∴θ＝90°时，m＝0，x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝；θ≠90°时，m＝，x1＋x2＝＋p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p＝.2∴|AB|＝.(2)由(1)知，y1y2＝－p2，∴x1x2＝＝；(3)＋＝＋＝＝＝.1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝()A.B.C.D.【答案】C[因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.]2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴...
