第三节直线、平面垂直的判定与性质课时作业练1.(2018苏州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是.(填序号)(1)PA⊥BC;(2)BC⊥平面PAC;(3)AC⊥PB;(4)PC⊥BC.答案(1)(2)(4)解析由PA⊥平面ACBPA⊥BC,⇒故(1)正确;由BC⊥PA,BC⊥AC,PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故(2)、(4)正确;无法判断AC⊥PB,故(3)不正确.2.(2018南京高三模拟)已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有以下四个命题:①若l⊥α,l⊥β,则α∥β;②若l⊥α,α⊥β,则l∥β;③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.其中真命题为(填所有真命题的序号).答案①③解析若l⊥α,l⊥β,则α∥β,①正确;若l⊥α,α⊥β,则l∥β或lβ,②⊂错误;若l∥α,l⊥β,则α⊥β,③正确;若l∥α,α⊥β,则l与β的位置关系不确定,可能平行、相交或lβ,④⊂错误.故真命题为①③.3.(2018江苏海安高级中学高三检测)设α和β为两个不重合的平面,给出下列命题,其中正确命题的序号是.(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.答案(1)(2)1解析由面面平行的判定定理可知(1)正确;由线面平行的判定定理可知(2)正确;由面面垂直的判定定理可知(3)不正确;若l与α内两条平行直线垂直,不能推出l⊥α,故(4)错误.4.已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则以下命题正确的是.(填序号)(1)垂直于平面β的平面一定平行于平面α;(2)垂直于直线l的直线一定垂直于平面α;(3)垂直于平面β的直线一定垂直于直线l;(4)垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直.答案(3)(4)解析垂直于平面β的平面可能与平面α平行或相交,故(1)不正确;若垂直于直线l的直线在平面β内,则一定垂直于平面α,否则不一定,故(2)不正确;垂直于平面β的直线一定垂直于直线l,故(3)正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直,故(4)正确.5.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线是;与AP垂直的直线是.答案AB,BC,AC;AB解析 PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC. AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴AB⊥AP,故与AP垂直的直线是AB.6.(2018徐州铜山高三模拟)已知平面α,β,直线m,n,给出下列命题:①若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β;②若α∥β,m∥α,n∥β,则m∥n;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;④若α⊥β,,m⊥α,n⊥β,则m⊥n.其中是真命题的是.(填写所有真命题的序号)2答案③④解析若m∥α,n∥β,m⊥n,则α,β的位置关系不确定,可能平行或相交,①错误;若α∥β,m∥α,n∥β,则m,n的位置关系不确定,平行、相交、异面都有可能,②错误;若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β,③正确;若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n,④正确.故其中是真命题的是③④.7.α,β是两个平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是.答案①③解析由题意得,AB∥CD,所以A,B,C,D四点共面,对于①,因为AC⊥β,EF⊂β,所以AC⊥EF,又因为AB⊥α,EF⊂α,所以AB⊥EF,因为AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABDC,所以EF⊥平面ABDC,又因为BD⊂平面ABDC,所以BD⊥EF,故①正确.对于②,由①可知,若BD⊥EF成立,则有EF⊥平面ABDC,则有EF⊥AC成立,而AC与α,β所成角相等是无法得到EF⊥AC的,故②错误.对于③,由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC,由①可知③正确.对于④,参照②的分析过程可知④错误.8.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为.答案123解析设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF,由已知可得A1B1=√2,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=12h.又2×√2=√22+(√2)2h,所以h=2√33,DE=√33.在Rt△DB1E中,B1E=√(√22)2-(√33)...
