作业20平面向量（2）参考时量：60分钟完成时间：月日一、选择题1．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于()A．－2B．2C．－D.解析：ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，由(ma＋nb)∥(a－2b)－(2m－n)＝4(3m＋2n)整理得14m＝－7n，则＝－.答案：C2．已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·AB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则等于()A．1B．2C．±D.解析：建立直角坐标系如图所示，设C(rcos45°，rsin45°)由OC＝mOA＋nOB得，＝.答案：D3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA＝a，OB＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)，若OC＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()解析：设OC＝(x，y)，由OC＝λa＋μb，则解得，又0≤λ≤μ≤1，则.答案：A4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a·b夹角的余弦值等于()A.B．－C.D．－解析：b＝(2a＋b)－2a＝(－5,12)，cos〈a，b〉＝＝.答案：C5．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．2C．4D．8解析：|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，则|2a－b|＝2.答案：B16．在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点,AB满足2,OAOBOAOB�则点集|,1,,POPOAOBR�所表示的区域的面积是（）A．22B．23C．42D．43【答案】D二、填空题7.设向量(3,3)a，(1,1)b，若abab，则实数.【答案】3【解析】8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝__________解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，则有m＝－，n＝－.9．设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________解析：解法一：由a·b＝0如图建立直角坐标系xOy，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，设c＝(cosθ，sinθ),(a－c)·(b－c)＝(1－cosθ，－sinθ)·(－cosθ，1－sinθ)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ－sinθ＝1－sinθ－cosθ＝1－sin≥1－.解法二：(a－c)·(b－c)＝c2－c·(a＋b)≥1－|c||a＋b|＝1－＝1－.10.设20，向量1coscos2sin，，，ba，若ba//，则tan_______.2三、解答题11．(本小题满分10分)已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．解：∵|m＋n|＝，即(m＋n)2＝.整理得：m2＋2m·n＋n2＝.又m＝(cosθ，sinθ)，n＝(－sinθ，cosθ)．则4＋2cosθ－2sinθ＝，即cosθ－sinθ＝，因此cos(θ＋)＝.又π<θ<2π，即<＋<.∴cos＝－＝－.12．(本小题满分12分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解：(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝＝≤4.又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为4.(3)证明：由tanαtanβ＝16得＝，所以a∥b.13.在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(CBA，点),(yxP在ABC三边围成的区域（含边界）上（1）若0PCPBPA，求OP；（2）设),(RnmACnABmOP，用yx,表示nm，并求nm的最大值.34考点：平面向量的线性运算；线性规划.5
