第25课二倍角的正弦、余弦与正切一、填空题1.计算:sin15°cos15°=.2.(2014·烟台模拟)已知α∈-,02,且cosα=45,那么tan2α=.3.若sinα+cosα=32,则sin2α=.4.已知sin2α=23,那么cos24=.5.化简:22-24sincos=.6.求值:sin6°sin42°sin66°sin78°=.7.已知sin-4=513,0<α<4,那么cos2α的值为.8.(2014·全国卷)已知直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.二、解答题9.若4sin2x+6sinx-cos2x-3cosx=0,求2-2(1-2)(1-2)cosxsinxcosxtanx的值.10.(2014·全国卷改编)若函数f(x)=cos2x+asinx在,62上是减函数,求a的取值范围.11.(2014·福建卷)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-12.(1)若0<α<2,且sinα=22,求f(α)的值;1(2)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间.2第25课二倍角的正弦、余弦与正切1.142.-247解析:因为α∈-,02,且cosα=45,所以sinα=-35,tanα=-34,tan2α=221-tantan=232-431--4=-247.3.-14解析:(sinα+cosα)2=1+sin2α=34sin2α=-14.4.165.-3cos2解析:原式=21-214sincos=22222coscos=3|cos2|,因为2∈,2,所以cos2<0,所以原式=-3cos2.6.116解析:sin6°sin42°sin66°sin78°=sin6°sin42°cos24°cos12°=000001212244826sincoscoscoscos=000024244846sincoscoscos=000484886sincoscos=0096166sincos=006166coscos=116.7.120169解析:因为0<α<4,所以0<4-α<4,cos-4=1213,cos2α=sin-22=sin2-4=2sin-4·cos-4=2×513×1213=120169.38.43解析:如图所示,根据题意,OA⊥PA,OA=2,OP=10,所以PA=22-OPOA=22,所以tan∠OPA=OAPA=222=12,故tan∠APB=221-tanOPAtanOPA=43,即l1与l2的夹角的正切值等于43.(第8题)9.由4sin2x+6sinx-cos2x-3cosx=0,得(2sinx+cosx)(2sinx-cosx)+3(2sinx-cosx)=0,即(2sinx-cosx)(2sinx+cosx+3)=0.因为2sinx+cosx+3>0,所以2sinx-cosx=0,所以tanx=12.则2-2(1-2)(1-2)cosxsinxcosxtanx=2-22-2(1-2)2cosxsinxcosxsinxcosxcosx=21-2cosxcosx=222-2cosxsinxsinx=222cosxsinx-12=212tanx-12=32.10.f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,令sinx=t,则f(x)=-2t2+at+1.因为x∈,62,所以t∈1,12,所以f(x)=-2t2+at+1,t∈1,12.因为f(x)=cos2x+asinx在,62上是减函数,所以f(x)=-2t2+at+1在区间1,12上是减函数.4所以4a≤12,所以a∈(-∞,2].11.方法一:(1)因为0<α<2,sinα=22,所以cosα=22.所以f(α)=22×2222-12=12.(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+122cosx-12=12sin2x+12cos2x=22sin24x,所以T=22=π.由2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,k∈Z,得kπ-38≤x≤kπ+8,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为3-,88kk,k∈Z.方法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-12=12sin2x+122cosx-12=12sin2x+12cos2x=22sin24x.5(1)因为0<α<2,sinα=22,所以α=4,从而f(α)=22sin24=22sin34=12.(2)T=22=π.由2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,k∈Z,得kπ-38≤x≤kπ+8,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为3-,88kk,k∈Z.6
