三、简单曲线的极坐标方程一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为()A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝2cosθD．ρ＝2sinθ解析：由题意知圆的极坐标方程为ρ＝2rcosθ＝2·1·cosθ即ρ＝2cosθ故选C．答案：C2．直线x－y＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是()A．θ＝B．θ＝πC．θ＝和θ＝πD．θ＝π解析：由x－y＝0，得ρcosθ－ρsinθ＝0，即tanθ＝，∴θ＝和θ＝π，又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝和θ＝π表示．答案：C3．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是()A．x2＋＝1B．＋y2＝1C．2x2＋y2＝1D．x2＋2y2＝1解析：∵ρ2(1＋sin2θ)＝2，∴ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，∴ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝2，即x2＋2y2＝2，∴＋y2＝1.答案：B4．在极坐标中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为()A．ρcosθ＝2B．ρsinθ＝2C．ρcosθ＝D．ρsinθ＝解析：如右图，Rt△OAC中，OC＝＝＝2.设直线l的任意一点为M(ρ，θ)，则ρcosθ＝2.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．在极坐标系中，点A到直线ρsinθ＝－2的距离是________．解析：点A化为直角坐标为，直线为y＝－2，则点A到直线的距离为2＋.答案：2＋6．两条直线ρcos＝2和tanθ＝1的夹角为________．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程：1由ρcos＝2得(ρcosθ＋ρsinθ)＝2，即x＋y＝2；由tanθ＝1，即θ＝或θ＝，即直线y＝x.由于直线y＝x与x＋y＝2互相垂直，故夹角为90°.答案：90°三、解答题(每小题10分，共20分)7．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．解析：∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36又∵ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ(cosθcos＋sinθsin)，∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.8．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．解析：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.9．(10分)如图所示，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，∵点A在直线ρcosθ＝4上，∴ρ0cosθ0＝4.①∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝，∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos＝4.由ρcos＝4，得ρ(cosθ＋sinθ)＝4，2∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．3
