高中数学4.3.2函数的极大值和极小值同步精练湘教版选修2-21．有下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.其中在x＝0处取得极小值的函数是()．A．①②B．②③C．③④D．①③2．函数y＝x－sinx在上的最大值为()．A．B．－1C．πD．π－13．关于函数的极值，下列说法正确的是()．A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的()．A．极大值为0，极小值为－B．极大值为，极小值为0C．极小值为－，极大值为0D．极小值为0，极大值为5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的范围是()．A．(－1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，1)6．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)上有极小值，则实数b的取值范围为__________．7．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是__________．9．已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a>0.讨论f(x)的单调性．10．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．1参考答案1．B①与④在R上是增函数，取不到极值，由极值定义，结合图象知②③在x＝0处取得极小值．2．C∵y′＝1－cosx≥0，∴y＝x－sinx在上是增函数．∴当x＝π时，ymax＝π.3．D4．B∵f(x)与x轴切于点(1,0)，f′(x)＝3x2－2px－q，∴f′(1)＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x.∴f′(x)＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝1，x2＝.当x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.故当x＝时，f(x)取得极大值；当x＝1时，f(x)取得极小值0.5．C∵y′＝ex＋a，令y′＝0，则x＝ln(－a)，∵x＞0，∴ln(－a)＞0＝ln1，∴a＜－1.6．f(x)在(0,1)上存在极值点转化为f′(x)＝3x2－6b＝0在(0,1)上有解，即b＝，x∈(0,1)有解．因为函数y＝，x∈(0,1)的值域为，所以b∈.7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)f(x)为三次函数，f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不相等的实数根，化简f′(x)＝0有x2＋2ax＋(a＋2)＝0，从而有Δ＝(2a)2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，即a∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．8．设剪成的小正三角形的边长为x.则S＝＝·(0＜x＜1)，S′＝·＝－·，令S′＝0，得x＝或x＝3(舍去)．x＝是S的极小值点且是最小值点．∴Smin＝·＝.9．解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.设g(x)＝x2－ax＋2，一元二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a＝2时，仅当x＝时，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.2此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值此时f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．10．解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，)．当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4.(2)由(1)的分析知y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4＜a＜5+4时，直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)=a有三个不同的解．(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)＞g(1)＝－3.所以k的取值范围是k≤－3.3
