1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]解析：∵||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.答案：C2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④解析：∵ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.答案：C3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是()A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|答案：B4已知|x-m|¿ξ2,∨y−n∨¿ξ2,则∨4x+2y−4m−2n∨小于()A.ξB.2ξC.3ξD.ξ2答案：C5若不等式|x-2|+|x+3|
0,即|a|>|b|.答案：|a|>|b|9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤54.证明：|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=−(|x|-12)2+54≤54,即|f(x)|≤54.10已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.证明：(1)由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|¿|a+b+c+(-a+b-c)|2≤12¿≤1.能力提升1已知x为实数,且|x-5|+|x-3|1B.m≥1C.m>2D.m≥2解析：∵|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2,2∴|x-5|+|x-3|的最小值为2.∴要使|x-5|+|x-3|2.答案：C2已知h>0,a,b∈R,命题甲:|a-b|<2h;命题乙:|a-1|nB.m2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小解析：当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.答案：B5下列不等式恒成立的个数是()①x+1x≥2(x≠0);②cab>c>0);③a+mb+m>ab(a,b,m>0,ab>c>0⇒aab>bab即1b>1a,又由于c>0,故有cb>ca;③成立,因为a+mb+m−ab=(b-a)mb(b+m)>0(a,b,m>0,aab;④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.答案：B6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为.答案：(-∞,32]7函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.解析：y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.答案：2★8下列四个不等式:①logx10+lgx≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③|ba+ab|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).解析：∵x>1,∴logx10+lgx¿1lgx+lgx≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,ba与ab同号,∴|ba+ab|=|ba|+|ab|≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.4答案：①③④★9对定义在区间[-1,1]上的函数f(x),若存在常数A>0,使得对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤A|x1-x2|,则称f(x)具有性质L.问函数f(x)=x2+3x+5与g(x)¿√|x|L是否具有性质?试证明.解:函数f(x)具有性质L,函数g(x)不具有性质L.证明如下:(1)对于函数f(x)=x2+3x+5,任取x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|=¿x12−x22+3(x1−x2)∨¿=|(x1-x2)(x1+x2+3)|=|x1-x2||x1+x2+3|≤|x1-x2|(|x1|+|x2|+3)≤5|x1-x2|.故存在A=5,使f(x)具有性质L.(2)对于函数g(x)¿√|x|,设它具有性质L,任取x1,x2∈[-1,1],当x1,x2不同时为0时,则|g(x1)-g(x2)|=¿√|x1|−√|x2|∨¿||x1|-|x2||√|x1|+√|x2|≤|x1-x2|√|x1|+√|x2|≤A|x1-x2|,得A≥1√|x1|+√|x2|,1A≤√|x1|+√|x2|≤2.得1A∈(0,2].取x1¿14A2≤1,x2¿116A2≤14,有√|x1|+√|x2|=12A+14A=34A<1A,与√|x1|+√|x2|≥1A矛盾,故函数g(x)¿√|x|不具有性质L.56
