模块复习与小结A．基础巩固1．若m＜0，n＞0，且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－mB．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜n＜－mD．m＜－n＜－m＜n【答案】C【解析】m＋n＜0，即m＜－n，n＜－m.又n＞0，所以－n＜n，故选C．2．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥kx，则k的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]【答案】D【解析】由题意可得，①当x≤0时，|－x2＋2x|≥kx恒成立，即x2－2x≥kx，即x2≥(k＋2)x，∴x≤k＋2，∴k＋2≥0，k≥－2.②当x＞0时，ln(x＋1)≥kx恒成立，∴0≥kx，求得k≤0.综上可得，k的取值为[－2,0]．3.(2018年清远期末)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为()A.6B.8C.10D.12【答案】D【解析】由柯西不等式(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，得3(a2＋4b2＋9c2)≥36，所以a2＋4b2＋9c2≥12，当且仅当a＝2b＝3c＝2时，a2＋4b2＋9c2取得最小值12.4．函数y＝2＋的最大值为()A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】y2＝(·＋1·)2≤(2＋1)(2－2x＋2x＋1)＝9，当2(2x＋1)＝2－2x，即x＝0时等号成立，所以y≤3，即y的最大值为3.5．观察各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则可得出第n个式子为________．【答案】n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)26．已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是________．【答案】4【解析】∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴lg(2x·8y)＝lg2，∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.∵x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋3y)·＝2＋＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．7．(2017年新课标Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.【证明】(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)∵(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，∴(a＋b)3≤8，a＋b≤2.B．能力提升8．已知当n∈N*时，Tn＝＋＋＋…＋，Sn＝1－＋－＋…＋－.(1)求S1，S2，T1，T2；(2)猜想Sn与Tn的大小关系，并用数学归纳法证明．【解析】(1)S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝，1T1＝，T2＝＋＝.(2)由(1)可以猜想，Sn＝Tn，n∈N*，证明如下：①当n＝1时，猜想成立．②假设n＝k时，猜想成立，则Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－＋－＋…＋－＋－＝Sk＋－，Tk＋1＝＋＋…＋＋＋＝Tk＋＋－＝Tk＋－，∴Sk＋1＝Tk＋1.∴当n＝k＋1猜想成立．由①②可知，Sn＝Tn，n∈N*.2
